《概率论与数理统计》课程教学资源（讲义）第一章 矩阵与行列式

线性[代数 二、矩阵的运算 1.矩阵的加法 定义4由两个同型矩阵Am=(a)=n,Bm=(b)对应元素的和 即a4+b(=12,…m,j=12,…,m)组成的mxn矩阵称为矩阵A与B的和 记作A+B,即 a1+b1a12+b12 a. +b A+B= a1+b +b2 由此定义及负矩阵的概念,我们定义矩阵A与B的差为 A-B=A+(-B) 注只有同型矩阵才能相加(减) 2.数与矩阵相乘(简称数乘) 定义5数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数k与矩阵A的 积,记作k4,即 ka 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算,其满足如下性质: (1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C) (3)(4)A=(4) (4)(2+)A=AA+uA (5)A(4+B)=A+B (6)A+O=A; 8)A+(-A) 上面的λ,4都是任意常数 例1设A= 1-23|求A+B和2A-3B

6 线 性 代 数 二、矩阵的运算 1. 矩阵的加法 定义 4 由两个同型矩阵 m n ij ( )m n A a   = , m n ij ( )m n B b   = 对应元素的和, 即 ij ij a b + (i m j n = = 1, 2, , ; 1, 2, , ) 组成的 m n  矩阵称为矩阵 A 与 B 的和, 记作 A B+ , 即 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b   + + +   + + +   + =       + + + . 由此定义及负矩阵的概念, 我们定义矩阵 A 与 B 的差为 A B A B − = + −( ). 注 只有同型矩阵才能相加(减). 2. 数与矩阵相乘(简称数乘) 定义 5 数 k 乘矩阵 A 的每一个元素所得到的矩阵称为数 k 与矩阵 A 的 积, 记作 kA , 即 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n m m mn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka       =       矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算, 其满足如下性质： (1) A B B A + = + ； (2) (A B C A B C + + = + + ) ( ) ； (3) (   ) A A = ( ) ； (4) (    + = + ) A A A ； (5)    (A B A B + = + ) ； (6) A O A + = ； (7) 1A A = ； (8) A A O + − = ( ) . 上面的  ,  都是任意常数. 例 1 设 1 1 2 0 3 4 A   − =     , 403 1 2 3 B   − =     − − , 求 A B+ 和 2 3 A B − . 解

A+B 1+02+(-3)(5 0+(-1)3+(-2)4+3 117 2-24)(120-9)(-10-213 2A-3B 3.矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法) n个变量x1,x2,…x与m个变量y1,y2…,yn之间的关系式 =a1x1+a12x2+…+anx y2=a211+a2X2+…+a2nxn, (1.1.5) Vm=amx,+,t,.+amnon 表示一个从变量x1x2,…,xn到变量y,y2…,yn的线性变换 设有两个线性变换 ∫=a1y+a1y2+a3y3 =a1y1+a2y2+a23y3 (1.16) 和 y2=b21x1+b2x2 b21x1+b32 若要求出从x,x2到=1,=2的线性变换,可将(1)代入(1.1.6),得 ∫=(ah1+a2b1+an41)x+(anh2+a12+4 (1.1.8) 二2=(a21b1+a2b21+a23b1)x1+(a21b2+a2b2+a2b2)x2 线性变换(.18)可看作是先作线性变换(1.1.7)、再作线性变换(1.1.6)的结果, 我们称线性变换(1.1.8)为线性变换(1.16)与(1.17)的乘积,相应地,我们 将线性变换(1.1.8)所对应的矩阵定义为(116)与(1.1.7所对应的矩阵的乘积 即 b1b12 b2 b,=a,+a,2b21+a, bsI a, bi2 +a2b2+a1b2 a21 a22 a a2,61+a22b2+a23b31 a2b +a,b2+a2 b3 般地,我们有:

7 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 1 4 1 0 2 ( 3) 5 1 1 0 ( 1) 3 ( 2) 4 3 1 1 7 A B     + − + + − − − + = =         + − + − + − ； 2 2 4 12 0 9 2 3 0 6 8 3 6 9 A B     − − − = −         − − 10 2 13 3 12 1   − − =     − . 3. 矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法) n 个变量 1 2 , , , n x x x 与 m 个变量 1 2 , , , m y y y 之间的关系式 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x  = + + +   = + + +     = + + + (1.1.5) 表示一个从变量 1 2 , , , n x x x 到变量 1 2 , , , m y y y 的线性变换. 设有两个线性变换 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 , . z a y a y a y z a y a y a y  = + +   = + + (1.1.6) 和 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 , , . y b x b x y b x b x y b x b x  = +   = +   = + (1.1.7) 若要求出从 1 2 x x , 到 1 2 z z , 的线性变换, 可将 (1.1.7) 代入 (1.1.6) , 得 1 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2 2 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) . z a b a b a b x a b a b a b x z a b a b a b x a b a b a b x  = + + + + +   = + + + + + (1.1.8) 线性变换 (1.1.8) 可看作是先作线性变换 (1.1.7) 、再作线性变换 (1.1.6) 的结果, 我们称线性变换 (1.1.8) 为线性变换 (1.1.6) 与 (1.1.7) 的乘积, 相应地, 我们 将线性变换 (1.1.8) 所对应的矩阵定义为 (1.1.6) 与 (1.1.7) 所对应的矩阵的乘积, 即 11 12 11 12 13 21 22 21 22 23 31 32 b b a a a b b a a a b b              11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 . a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + + + =     + + + + 一般地, 我们有：

—[线性代数 定义6设有矩阵A=(a)和B=(b),规定矩阵A与B的乘积是一 个mxm矩阵C=(cn)n,记为C=AB.其中 aby, i=1,2, 注只有当前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时,两个矩阵才能 相乘,且乘积矩阵C中的元素C就是A的第i行与B的第j列的对应元素乘 积的和 例2设 131,B=02 2 求 解 131102 01-2八(21 2×1+0×0+(-1)×22×0+0×2+(-1)×1 0×1+1×0+(-2)×20×0+1×2+(-2)×1 7 例3求矩阵 A 与B 的乘积AB及BA. 解 (1(1-(2

8 线 性 代 数 定义 6 设有矩阵 ( ij)m s A a  = 和 ( ij)s n B b  = , 规定矩阵 A 与 B 的乘积是一 个 m n  矩阵 ( ij)m n C c  = , 记为 C AB = . 其中 1 1 2 2 1 , 1, 2, , ; 1, 2, , . ij i j i j is sj s ik kj k C a b a b a b a b i m j n = = + + + = = =  注 只有当前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时, 两个矩阵才能 相乘, 且乘积矩阵 C 中的元素 Cij 就是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元素乘 积的和. 例 2 设 2 0 1 1 3 1 0 1 2 A   −   = −      − , 1 0 0 2 2 1 B     =       , 求 AB . 解 AB 2 0 1 1 0 1 3 1 0 2 0 1 2 2 1     −     = −            − 2 1 0 0 ( 1) 2 2 0 0 2 ( 1) 1 1 1 3 0 1 2 1 0 3 2 1 1 0 1 1 0 ( 2) 2 0 0 1 2 ( 2) 1    +  + −   +  + −    = −  +  +  −  +  +         +  + −   +  + −  0 1 1 7 . 4 0   −   =       − 例 3 求矩阵 1 1 1 1 A   − =     − 与 1 1 1 1 B   − − =     的乘积 AB 及 BA . 解 1 1 1 1 2 2 ; 1 1 1 1 2 2 AB      − − − = =           − − −

BA= 由以上例题可以看出矩阵乘法与数的乘法有两点显著不同 (1)矩阵乘法不满足交换律:AB与BA未必同时有意义(如例2,BA没 有意义):即使都有意义也未必相等(如例3).因此为明确起见,称AB为A左 乘B,或B右乘A.只有在一些特殊情况下才有AB=BA,这时称A与B是 乘法可交换的.容易验证数量矩阵aE与任何同阶方阵A乘法可交换,即 (ae)a=a(ae)=aA. (2)矩阵乘法不满足消去律:由AB=O不能得出A=O或B=O(如例3), 即A≠O,B≠O但AB有可能为O 有了矩阵相等和乘法的定义,我们可以把线性方程组(11.1)写成矩阵形 式:AX=B,其中 、xn be 若B=O,则称(1.1)为齐次线性方程组:若B≠O,则称(1.1.1)为非齐次线 性方程组.也可以把线性变换(1.1.5)写成矩阵形式:Y=AX,其中 V2 A与X同上所设 可以证明矩阵的乘法有下列性质: (1)(AB)C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC:(B+C)A=BA+CA (3)A(AB)=()B=A(AB),A为任意常数 定义7设A为n阶方阵,k为正整数,称k个A的连乘积为方阵A的k 次幂,记作A,即A=AA…A 当k,都为正整数时,由矩阵乘法的性质,得

9 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 1 1 1 1 0 0 . 1 1 1 1 0 0 BA      − − − = =           − 由以上例题可以看出矩阵乘法与数的乘法有两点显著不同： (1) 矩阵乘法不满足交换律： AB 与 BA 未必同时有意义(如例 2 , BA 没 有意义)；即使都有意义也未必相等(如例 3 ). 因此为明确起见, 称 AB 为 A 左 乘 B , 或 B 右乘 A . 只有在一些特殊情况下才有 AB BA = , 这时称 A 与 B 是 乘法可交换的. 容易验证数量矩阵 aE 与任何同阶方阵 A 乘法可交换, 即 (aE A A aE aA ) = = ( ) . (2) 矩阵乘法不满足消去律：由 AB O= 不能得出 A O= 或 B O= (如例 3), 即 A O B O   , 但 AB 有可能为 O . 有了矩阵相等和乘法的定义, 我们可以把线性方程组 (1.1.1) 写成矩阵形 式： AX B = , 其中 A = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             , 1 1 2 2 , . n m x b x b X B x b             = =             若 B O= , 则称 (1.1.1) 为齐次线性方程组；若 B O , 则称 (1.1.1) 为非齐次线 性方程组. 也可以把线性变换 (1.1.5) 写成矩阵形式： Y AX = , 其中 1 2 , m y y Y y       =       A 与 X 同上所设. 可以证明矩阵的乘法有下列性质： (1) (AB C A BC ) = ( ) ； (2) A B C AB AC ( + = + ) ； (B C A BA CA + = + ) ； (3)    ( ) ( ) ( ) AB A B A B = = ,  为任意常数； (4) ( ) ( ). m m n m n m n n aE A aA A aE    = = 定义 7 设 A 为 n 阶方阵, k 为正整数, 称 k 个 A 的连乘积为方阵 A 的 k 次幂, 记作 k A , 即 . k k A AA A = 当 kl, 都为正整数时, 由矩阵乘法的性质, 得

线性[代数 (1)AA=A+ )(4 注由于矩阵乘法不满足交换律,所以,一般地(AB)≠AB 例4设A-(1,求r(m为正整数 解 01八(01)(01 12/11 A 01八01)(01 一般地,有 n 其正确性可由数学归纳法证得,证明略 4.矩阵的转置 定义8把m×n矩阵A的行与列互换得到的一个nxm矩阵,称为A的 转置矩阵,记作A.例如,矩阵 的转置矩阵为 矩阵的转置也是一种运算,满足下述运算规律: (1)(4)=4 (2)(A+B)=A+B (3)(4A)=H,2为一个数:(4)(AB)=BA 例5已知

10 线 性 代 数 (1) k l k l A A A + = ； (2) ( ) l k kl A A = . 注 由于矩阵乘法不满足交换律, 所以, 一般地 ( ) k k k AB A B  . 例 4 设 1 1 0 1 A   =     , 求 n A ( n 为正整数). 解 1 1 0 1 A   =     ； 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 A      = =           ； 3 1 2 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1 A      = =           ； 一般地, 有 1 0 1 n n A   =     . 其正确性可由数学归纳法证得, 证明略. 4. 矩阵的转置 定义 8 把 m n  矩阵 A 的行与列互换得到的一个 n m 矩阵, 称为 A 的 转置矩阵, 记作 T A . 例如, 矩阵 1 2 0 3 1 1 A   =     − 的转置矩阵为 1 3 2 1 . 0 1 T A     = −       矩阵的转置也是一种运算, 满足下述运算规律： (1) ( ) T T A A = ； (2) ( ) T T T A B A B + = + ； (3) ( ) T T   A A = ,  为一个数； (4) ( ) T T T AB B A = . 例 5 已知