《概率论与数理统计》课程教学资源（讲义）第一章 矩阵与行列式

第一章矩阵与行列式 第一节矩阵及其运算 矩阵的概念 人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时,会获得许多重要的数据 资料,将这些数据排成一个矩形的数表 以便于进行储存、运算和分析,这种矩形的数表就是矩阵 定义1由mxn个数an(=12,…m,j=1,2,…,n)排成m行n列的矩形 数表 a2i a22 称为m行n列矩阵,简称为m×n矩阵,其中a称为矩阵的位于第i行、第j 列的元素.通常,我们用大写字母A,B,…表示矩阵.例如,记 A= 其中小括号“()”也可用方括号“[]代替有时,矩阵也简记为A=(an) 或A=(q)特别地,当m=n时,称A为n阶矩阵或n阶方阵,其中一阶方

第一章 矩阵与行列式 第一节 矩阵及其运算 一、矩阵的概念 人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时, 会获得许多重要的数据 资料, 将这些数据排成一个矩形的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a 以便于进行储存、运算和分析, 这种矩形的数表就是矩阵. 定义 1 由 m n  个数 a i m j n ij ( = = 1,2, , ; 1,2, , ) 排成 m 行 n 列的矩形 数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             称为 m 行 n 列矩阵, 简称为 m n  矩阵, 其中 ij a 称为矩阵的位于第 i 行、第 j 列的元素. 通常, 我们用大写字母 A B, , 表示矩阵. 例如, 记 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n m m mn a a a a a a A a a a       =       其中小括号“ ( )”也可用方括号“   ”代替. 有时, 矩阵也简记为 ( ij)m n A a  = 或 A a = ( ij). 特别地, 当 m n = 时, 称 A 为 n 阶矩阵或 n 阶方阵, 其中一阶方

线性[代数 阵(q)是一个数,括号可略去 元素全为实数的矩阵称为实矩阵,元素全为复数的矩阵称为复矩阵.本 书主要在实数范围内讨论问题 对于由n个未知量、m个方程组成的线性方程组: aux+a2x2+.+ann=b, arx,+a2x2+.+a2,,=b, (1.1.1) 称矩阵 bb:b 为线性方程组(11.1)的增广矩阵;称矩阵 a1 为线性方程组(1.1.1)的系数矩阵;矩阵 b b2 B 称为线性方程组(1.1.1)的常数项矩阵 显然,线性方程组(1.1.1)由矩阵(.1.2)完全地确定 下面介绍一些特殊的矩阵 (1)零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记为O (2)列矩阵、行矩阵在矩阵A中,如果n=1,则

2 线 性 代 数 阵 (a) 是一个数, 括号可略去. 元素全为实数的矩阵称为实矩阵, 元素全为复数的矩阵称为复矩阵. 本 书主要在实数范围内讨论问题. 对于由 n 个未知量、 m 个方程组成的线性方程组： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = (1.1.1) 称矩阵 A 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b       =       (1.1.2) 为线性方程组 (1.1.1) 的增广矩阵；称矩阵 A = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             (1.1.3) 为线性方程组 (1.1.1) 的系数矩阵；矩阵 1 2 m b b B b       =       (1.1.4) 称为线性方程组 (1.1.1) 的常数项矩阵. 显然, 线性方程组 (1.1.1) 由矩阵 (1.1.2) 完全地确定. 下面介绍一些特殊的矩阵. (1) 零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记为 O . (2) 列矩阵、行矩阵 在矩阵 A 中, 如果 n = 1, 则

称这种只有一列的矩阵为列矩阵;同样,如果m=1,则 称这种只有一行的矩阵为行矩阵 我们也将列矩阵和行矩阵分别称为列向量和行向量.列向量和行向量统 称为向量.向量的元素称为分量,有n个分量的向量称为n维向量矩阵与 量有密切的联系,矩阵A=(a)可以看成由n个m维列向量 组成,也可以看成由m个n维行向量(ana2…an),l=12,…m组成 (3)负矩阵如果矩阵A=(a),则-4=(-a)称为矩阵A的负矩阵 (4)行阶梯形矩阵如果矩阵每一行的第一个非零元素所在的列中,其 下方元素全为零,则称此矩阵为行阶梯形矩阵.例如矩阵 02345 A B 00567 000-3 00018 00000 均为行阶梯形矩阵,而矩阵 02345 00567 00418 则不是行阶梯形矩阵 5)行最简形矩阵如果行阶梯形矩阵中,非零行的第一个非零元素均为 且其所在列的其余元素均为0,则称此矩阵为行最简形矩阵.例如,矩阵

3 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 11 21 m1 a a A a       =       , 称这种只有一列的矩阵为列矩阵；同样, 如果 m =1, 则 A a a a = ( 11 12 1n ) , 称这种只有一行的矩阵为行矩阵. 我们也将列矩阵和行矩阵分别称为列向量和行向量. 列向量和行向量统 称为向量. 向量的元素称为分量, 有 n 个分量的向量称为 n 维向量. 矩阵与 向量有密切的联系, 矩阵 ( ij)m n A a  = 可以看成由 n 个 m 维列向量 1 2 , 1,2, , j j mj a a j n a       =         组成, 也可以看成由 m 个 n 维行向量 ( 1 2 ), 1,2, , i i in a a a i m = 组成. (3) 负矩阵 如果矩阵 ( ij)m n A a  = , 则 ( ij)m n A a  − = − 称为矩阵 A 的负矩阵. (4) 行阶梯形矩阵 如果矩阵每一行的第一个非零元素所在的列中, 其 下方元素全为零, 则称此矩阵为行阶梯形矩阵. 例如矩阵 1 0 2 3 4 0 2 3 4 5 0 0 5 6 7 0 0 0 1 8 A       =       , 1 2 1 0 2 0 3 2 2 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 B   − −   −   =   −     均为行阶梯形矩阵, 而矩阵 1 0 2 3 2 0 2 3 4 5 0 0 5 6 7 0 0 4 1 8 C       =       则不是行阶梯形矩阵. (5) 行最简形矩阵 如果行阶梯形矩阵中, 非零行的第一个非零元素均为 1, 且其所在列的其余元素均为 0, 则称此矩阵为行最简形矩阵. 例如, 矩阵

线性[代数 106 000 12 0010 0 是行最简形矩阵 (6)上(下)三角矩阵n阶方阵的左上角到右下角元素的连线称为主对 角线,左下角到右上角元素的连线称为次副)对角线如果方阵的主对角线 下(上)方元素全为0,则称此矩阵为上(下)三角矩阵.矩阵 0 为上三角矩阵,矩阵 0 为下三角矩阵 7)对角矩阵如果方阵中除主对角线上的元素外,其余元素全为0,则 称此矩阵为对角矩阵.例如,矩阵 0 00:元 0 为对角矩阵 (8)单位矩阵在对角矩阵中,如果=1(=2…,n),即为 0 0 10:0 0 则称此矩阵为单位矩阵.单位矩阵一般用E或l表示

4 线 性 代 数 1 0 6 0 3 0 1 2 0 5 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0         −     是行最简形矩阵. (6) 上(下)三角矩阵 n 阶方阵的左上角到右下角元素的连线称为主对 角线, 左下角到右上角元素的连线称为次(副)对角线. 如果方阵的主对角线 下(上)方元素全为 0, 则称此矩阵为上(下)三角矩阵. 矩阵 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a             为上三角矩阵, 矩阵 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a a a a             为下三角矩阵. (7) 对角矩阵 如果方阵中除主对角线上的元素外, 其余元素全为 0, 则 称此矩阵为对角矩阵. 例如, 矩阵 1 2 0 0 0 0 0 0 n                为对角矩阵. (8) 单位矩阵 在对角矩阵中, 如果 i  = 1 1, 2, , (i n), 即为 1 0 0 0 1 0 0 0 1             , 则称此矩阵为单位矩阵. 单位矩阵一般用 E 或 I 表示

定义2如果两个矩阵A=(a),B=(b)的行数相同、列数也相同,则 称矩阵A与B为同型矩阵 定义3如果两个同型矩阵An,Bn的对应元素均相等,即 =b(=12…,m=12…m),则称矩阵A与B相等,记作A=B

5 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 定义 2 如果两个矩阵 A a = ( ij), B b = ( ij) 的行数相同、列数也相同, 则 称矩阵 A 与 B 为同型矩阵. 定义 3 如果两个同型矩阵 A m n , B m n 的对应元素均相等, 即 a b i m j n ij ij = = = ( 1, 2, , ; 1, 2, , ), 则称矩阵 A 与 B 相等, 记作 A B =