b 例1试求(DLW(dW(t) t=b 解 =t0<l1 对[a,b]的一组分点: △n=max(tk-tk-1) l≤k<n ∑W(4-)W(t)-W(-)=-W2(t0)=W(tD形(1) +W(t1)-W(1W(2)+…+W(tn1)-W(tn1)W(tn) =-nW2()+2((x)-W(1)2-W2(n) 故IW2(b)-m2(a)-∑(()-形(x-)2 (D)CW(OdW()=,W2(b)-2(a)-213m∑W(4)-() n→ 2(b)-W2(a)-n(b-a)首页
例1 解 试求 (I) W(t)dW(t) b a 对[a,b]的一组分点： a = t 0 t 1 t n = b max ( ) 1 1 − = k − k k n n t t ( )[ ( ) ( )] 1 1 1 − − = = k k − k n k n I W t W t W t [ ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 = − W t −W t W t ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 +W t −W t W t +… ( ) ( ) ( )] 1 1 2 n n n W t W t W t + − − − [ ( ) 2 1 0 2 = − W t ( ( ) ( )) ( )] 2 2 1 1 k k n n k + W t −W t −W t − = [ ( ) ( )] 2 1 2 2 = W b −W a 2 1 1 ( ( ) ( )) 2 1 − = − k − k n k W t W t 故 (I) W(t)dW(t) b a [ ( ) ( )] 2 1 2 2 = W b −W a → − n l.i.m 2 1 2 1 1 ( ( ) ( )) − = − k k n k W t W t [ ( ) ( )] 2 1 2 2 = W b −W a ( ) 2 1 − b − a 首页
注表明o随机积分不同于黎曼积分 因为如果W(t)是普通函数,积分不能有-(b-a) Ito积分的性质 性质1若1积分[X(OdW(),[Y()dW()存在则 (1)(aO+m()()-=aOyOo+ryoo (2)[x(00=2x0+x 证明 aacsb 与黎曼积分相仿(略) 首页
注 表明Ito随机积分不同于黎曼积分 二、Ito积分的性质 性质1 则 因为如果W (t) 是普通函数，积分不能有 ( ) 2 1 − b − a 若 Ito 积分 X(t)dW(t) b a ， Y(t)dW(t) b a 存在 （1） ( X(t) Y(t))dW(t) b a + X(t)dW(t) b a = Y(t)dW(t) b a + （2） X(t)dW(t) b a X(t)dW(t) c a = X(t)dW(t) b c + 证明 a c b 与黎曼积分相仿（略） 首页
性质2设维纳过程Y(t)=X(s)dW(s) 则Y(O)的均值和相关函数为 E[Y()]=0 n(1,2) R(15)= Sas 证明略 首页
性质2 则 证明 设维纳过程Y(t) X(s)dW(s) t a = ， Y(t) 的均值和相关函数为 E[Y(t)] = 0 = min( , ) 0 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) t t RY t t X s ds 略 首页
性质3若[X(()存在,则 Y()=X(s)dw(s) astsb 存在且关于t是均方连续的 证明 t+h ERLY(t+h)-Y(Or)=EL X(s)dw(s) ="E{x(s)ds→>0(h→>0) 故Y(1)关于t是均方连续 首页
性质3 则 存在且关于t是均方连续的。 证明 若 X(t)dW(t) b a 存在， Y(t) X(s)dW(s) t a = a t b {[ ( ) ( )] } 2 E Y t + h −Y t = + 2 E X (s)dW (s) t h t E X s ds t h t + = { ( )} 2 →0 （h →0） 故Y(t) 关于 t 是均方连续 首页
三、Ito微分法则 胚二以距算活()(<P)占 X()-X(a)=J4(s+⊥B(sm(s)(1) 其中A(s)为二阶矩过程且均方可积,B(S)满足定理1的条件 则第二个积分作为o积分存在,且X)与(12a相互独立 这时称(1)式定义的随机过程X()有(o随机微分 A(t)dt b(tdw(t) 并记为 dX(t=A(t)dt+ b(t)dw(t) 首页
三、Ito微分法则 X(t) X(a) A(s)ds B(s)dW(s) t a t a − = + 其中 A(s) 为二阶矩过程且均方可积, 设二阶矩过程X(t) ( a t b )满足B(s)满足定理 1 的条件 则第二个积分作为Ito积分存在，且 X(a) 与W (t) ,t a 相互独立 （1） 这时 称(1)式定义的随机过程 X (t) 有(Ito)随机微分 A(t)dt + B(t)dW (t) 并记为 dX (t) = A(t)dt + B(t)dW (t) 首页