例2求随机微分d(W2() 解由例1可知 w(tdw(t=w(t) 即W2(t)=t+2W(w() 由随机微分的定义 d(w(t))=dt+2W(t)dw(t) 首页
例2 求随机微分 解 由例１可知 ( ( )) 2 d W t ( ) ( ) 0 W t dW t t W t t 2 1 ( ) 2 1 2 = − 即 W (t) = t 2 2 ( ) ( ) 0 W t dW t t + 由随机微分的定义 ( ( )) 2 ( ) ( ) 2 d W t = dt + W t dW t 首页
定理3o公式 设f(t2X()是关于t和随机过程{X(t),t∈T 的二次微分函数,若X()的随机微分是 dX(t)=A(t)dt+ B(tdw(t 则Y(O)=f(,xX()在T上也有随机微分,且 dr(t)=L(t, X(t)+f(, X(t)a(t) +fx(t, X(t)B(tldt 2 首页 +fr(t, X(t)b(tdw(t)
定理3 Ito公式 的二次微分函数， 则 设 f (t, X (t)) 是关于 t 和随机过程｛X(t) ,t T ｝ 若 X(t) 的随机微分是 dX (t) = A(t)dt + B(t)dW (t) Y(t) = f (t, X (t)) 在Ｔ上也有随机微分， 且 dY(t) [ f (t, X(t)) f (t, X(t))A(t) t X = + f t X t B t dt XX ( , ( )) ( )] 2 1 2 + f (t, X(t))B(t)dW(t) X + 首页
例3求随机微分d(W2(t) 解设f(t,X(t)=tW2(t) 因为dX(t)=0at+1.aW(t)=aW(t) f(t2X(t))=W2() fr(t, X(t)=2tw(t fxx(t, X(t))=2t 所以由Ito公式得 d(tw(t))=[w(t)+t]dt + 2tw(tdw(t) 首页
例3 求随机微分 解 设 因为 所以由Ito公式得 ( ( )) 2 d tW t ( , ( )) ( ) 2 f t X t = tW t dX (t) = 0dt +1dW (t) = dW (t) ( ( )) 2 d t W t [W (t) t]dt 2 = + + 2t W(t)dW(t) ( , ( )) ( ) 2 f t X t W t t = f (t, X(t)) 2tW(t) X = f t X t t XX ( , ( )) = 2 首页
定理4设普通函数F(t2x)=F(t2x1,x2…xmn)及其导数 F0(,x)=F0(t,x1,x2“x人 F(t,x at F(12x)≡F1(t2x1,x2,…,xm)=F(1,x12x2 首页 Fi(,x)=F (t,x1 F(t2x12x2…,xn) XOX 都是连续函数 如果随机过程X(t)有随机微分 X (t)=A(t)dt +B(t)dw(t) 则Y()=F(t2X()=F(,X1(),X2(D)2…Xn()有随机微分
定理4 设普通函数 ( , ) ( , , , , ) 1 2 m F t x F t x x x 及其导数 ( , ) ( , , , , ) ( , , , , ) 0 0 1 2 m 1 2 m F t x x x t F t x F t x x x = ( , ) ( , , , , ) ( , , , , ) 1 2 1 2 m i i i m F t x x x x F t x F t x x x = ( , ) ( , , , , ) ( , , , , ) 1 2 2 1 2 m i j i j i j m F t x x x x x F t x F t x x x = 都是连续函数． i, j =1, ,m 如果随机过程 Xi (t) 有随机微分 dX (t) A (t)dt B (t)dW(t) i = i + i 则 ( ) ( , ( )) ( , ( ), ( ), , ( )) 1 2 Y t F t X t F t X t X t X t = m 有随机微分 首页
dY()={5(,X(1)+∑[F(,X(1)4(O) +1y [F(, X(t)B, (t) B, (t)Idt +∠∑[F(,X(O)B(O)dW() 注是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现, 称为Io公式 首页
= = + m i i i dY t F t X t F t X t A t 1 0 ( ) { ( , ( )) [ ( , ( )) ( )] F t X t B t B t dt m i j i j i j = + , 1 [ ( , ( )) ( ) ( )]} 2 1 { [ ( , ( )) ( )]} ( ) 1 F t X t B t dW t m i i i = + 注 是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现， 称为Ito公式 首页