第二节Ito积分的理论 Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不 可预测的随机增量的总和。 一、Io积分的定义 布朗运动维纳过程{W(t),t≥0} E[W()]=0 首页 Varlw(t)-w(s=ot-s R(s,t=0 min(s,t) 如σ=1 w(t) 标准布朗 果 O≠1 w(t/o 运动
第二节 Ito积分的理论 Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不 可预测的随机增量的总和。 布朗运动 维纳过程{W (t) ，t 0 } E[W (t)] = 0 ( , ) min( , ) 2 R s t = s t [ ( ) ( )] | | 2 Var W t −W s = t − s 如 果 =1 1 W (t) 标准布朗 W (t)/ 运动 一、Ito积分的定义 首页
定义1设{x(D),t∈[a,b]}为二阶矩过程,0≤a<b。 W()是标准布朗运动满足 R(S, t)=min(s, t) Var[w(t-W(s=t-s 对的一组分点a=1<t1<…<t △n=max(tk-tk=1) l≤k<n 作和式1n=∑X(-)W()=W(2) 如果均方极限1.i.mLn存在 n→o 则称此极限为X(t)关于W(t)的to积分, 记为 b ()I X(tdw(t) 首页
定义1 满足 设{ X(t) ,t [a,b] }为二阶矩过程，0 a b 。 W (t) 是标准布朗运动 R(s,t) = min( s,t) Var[W (t) −W (s)] =| t − s| 对[a,b]的一组分点 a = t 0 t 1 t n = b max ( ) 1 1 − = k − k k n n t t 作和式 ( )[ ( ) ( )] 1 1 1 − − = = k k − k n k n I X t W t W t 如果均方极限 n I n → l.i.m 存在 则称 此极限为X(t) 关于W (t) 的 It o 积分， 记为 (I) X(t)dW(t) b a 首页
注意在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式 Yn=∑X(W(k)-W() fk∈[ k-17k 原因是当t在[tk1,(k]中任意选择时,Yn的均方极限将不存在 所以这里取固定的左端点。 定理1设X()均方连续,且对任意s1s2≤1<及S<21 (X(s1),X(S2),W(S2)-W(S1)与W(4)-W(t1)相互独立 则X(t)关于W(t)的Ito积分存在且唯 首页
注意 在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式 原因是 即 所以这里取固定的左端点。 ( )[ ( ) ( )] 1 1 − = = k k − k n k n Y X t W t W t [ , ] k k 1 k t t t − 当 k t 在[ , ] k 1 k t t − 中任意选择时，Yn 的均方极限将不存在 定理1 设 X(t) 均方连续，且对任意 k k s s t t 1 2 −1 , 及 1 2 k−1 s s t ( ( ), ( ), 1 2 X s X s ( ) ( )) 2 1 W s −W s 与 ( ) ( ) k − k−1 W t W t 相互独立 则 X(t) 关于W (t) 的 It o 积分存在且唯一 首页
定理2设{W(t),t≥0}是维纳过程 对[a,b]的一组分点:△ a=<1<…<tn=b maX l≤k<n 则 1.i.m∑(W(k)-W(k)2=(b-a) n→>ok=1l 证令△WK=W()-W()△k=tk E∑AHk-(b-a)2=E∑(△Wk2-42 k=1 ∑E(△W2-△)+∑(△W2-△1)△W2-△) ∑ 首页 E(△W-2△W·△t+△t k=1
定理 2 设{W (t) ,t 0 }是维纳过程 对[a,b]的一组分点： a = t0 t 1 t n = b max ( ) 1 1 − = k − k k n n t t 则 n → l.i.m 2 1 1 ( ( ) ( )) − = k − k nk W t W t = (b − a) 证 令 ( ) ( ) k = k − k − 1 W W t W t k = k − k − 1 t t t 则 2 2 1 E [ W ( b a)] k n k − − = 2 2 1 [ ( )] k k n k = E W − t = 2 2 1 ( ) k k n k = E W − t = [( )( ) 2 2 i i j j i j + E W − t W − t ( 2 ) 4 2 2 1 k k k k n k = E W − W t + t = 首页
=2(E[△W(1-E24W2△1+EM3)首页 =∑(3A2-2△2+△ k=1 ∑△2≤2△∑△=2△(b △→>0 0因为△W()~N(0,△(k +∞ E[△W(k)= 42△t xe dx eAT 3△ k x2e2Mcx=3△tE[△W(t) 2△t,∞
因为 (3 2 ) 2 2 2 1 k k k n k = t − t + t = ( [ ] [2 ] [ ]) 4 2 2 1 k k k k n k = E W − E W t + E t = 2 1 2 k n k = t = k n k n t =1 2 2 (b a) = n − n →0 0 ( ) ~ (0, ) k k W t N t 4 [ ( )] k E W t x e dx t k t x k + − − = 4 2 2 2 1 x e dx t t k t x k k + − − = 2 2 2 2 3 2 3 [ ( )] k k = t E W t 首页