关于子群的证明 证明中心C为子群 证由于e属于C,C非空 任取xy∈C,对于任意a∈G有 (xy-1)a=x(ra)=x(a-y)-1=x(a)-1 xay)=(caryl=(ax)y=a(xy) 因此xy属于C由判定定理2,命题得证
6 关于子群的证明 证明中心 C为子群 证 由于 e属于 C, C非空. 任取 x, y ∈ C，对于任意 a ∈ G 有 (xy − 1 )a = x (y − 1 a) = x ( a − 1y ) − 1 = x (ya − 1 ) − 1 = x (ay − 1) = (xa )y − 1 = (ax )y − 1 = a (xy − 1 ) 因此 xy − 1属于C. 由判定定理 2，命题得证
重要子群的证明(续) 设H,K≤G,则 (1)HOksG (2)BKsG冷H∈ KVKCH 证(1)略 (2)只证必要性 假若豆h(h∈H,h∈K,丑k(k∈K,k∈团, 则kgH,否则k=h-1(hk)∈H,矛盾 同理hkK,从而hg压K 但是h,k∈HK,与K≤G矛盾
7 重要子群的证明（续） 设H,K≤ G, 则 (1) H∩ K≤ G (2) H∪ K≤G ⇔ H⊆K∨K⊆H 证 (1) 略. (2) 只证必要性 假若 ∃ h ( h ∈ H, h ∉ K), ∃ k ( k ∈ K, k ∉ H)， 则 hk ∉ H，否则 k = h − 1 (hk ) ∈ H, 矛盾. 同理 hk ∉ K, 从而 hk ∉ H∪ K 但是 h,k ∈ H∪ K, 与 H∪ K≤ G矛盾