银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第五章 定积分

银川能源学院《高签激学》救未 第五童定积分 若x=Q,取△>0，则同理可证①，'(x)上a;若x=b,取△<0，则同理可证 Φ'(x)=b), 定理2如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数 D(x)=f(x)dx 就是fx)在[a,b]上的一个原函数. 定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面 初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系， 三、牛顿—莱布尼茨公式 定理3如果函数F(x)是连续函数x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 f(xdx=F(b)-F(a). 此公式称为牛顿-一莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式： 这是因为Fx)和(x)上o)h都是x)的原函数， 所以存在常数C,使 Fx)一D(x)=C(C为某一常数). 由F(a)-D(a)=C及Φ(a)=O,得C=F(a,Fx)-D(x)=Fa). 由Fb)-D(b)=F(a,得Φ(b)=Fb)-F(a,即 f(ds-F()-F(a. 证明：已知函数F(x)是连续函数x)的一个原函数，又根据定理2，积分 上限函数 (x)上Cfd 也是x)的一个原函数.于是有一常数C,使 Fx)-D(x)=C(a≤r≤b). 当x=a时，有F(a-D(aC,而(a)=O,所以C-=F(a;当=b时， Fb)-Φ(b)=F(a, 所以Φ(b)=F(b)-F(a,即 f(xydx=F(b)-F(a). 为了方便起见，可把F(b-F(a)记成[F(x)治，于是 [f(x)dx=IF(x)E=F(b)-F(a). 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例1.计算6x2dk. 解：由于x是x2的一个原函数，所以 第11页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 11 页 若 xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若 xb  取x<0 则同理可证 (x) f(b) 定理 2 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx x a ( )   就是 f (x)在[a b]上的一个原函数 定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面 初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 三、牛顿莱布尼茨公式 定理 3 如果函数 F (x)是连续函数 f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则 f (x)dx F(b) F(a) b a     此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式 这是因为 F(x)和(x) f t dt x a ( )  都是 f(x)的原函数 所以存在常数 C 使 F(x)(x)C (C 为某一常数) 由 F(a)(a)C 及(a)0 得 CF(a) F(x)(x)F(a) 由 F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即 f (x)dx F(b) F(a) b a     证明 已知函数 F(x) 是连续函数 f(x) 的一个原函数 又根据定理 2 积分 上限函数 (x) f t dt x a ( )  也是 f(x)的一个原函数 于是有一常数 C 使 F(x)(x)C (axb) 当 xa 时  有 F(a)(a)C 而 (a)0 所 以 CF(a) 当 xb 时  F(b)(b)F(a) 所以(b)F(b)F(a) 即 f (x)dx F(b) F(a) b a     为了方便起见 可把 F(b)F(a)记成 b a [F(x)]  于是 f (x)dx [F(x)] F(b) F(a) b a b a      进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例 1. 计算  1 0 2 x dx  解 由于 3 3 1 x 是 2 x 的一个原函数 所以

银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 r=r%=-号03=号 例2计算奔 解由于arctan x是子的一个原函数，所以 奈-ct-5-am-)=号（孕-径。 例3.计算是. 解：是k=mlx=inl-ln2=-ln2 例4.计算1=+cos2xdk 解：1=V1+cos2xdk=∫V2 cosxd=V21 lcos =Vf后cosxd-cos.xex-2 sinx刘-2sin灯 =√2+√2=25 注意：求不定积分时，通常未指明积分变量的变化范围，因此一般默认 √Osx=cosx。计算定积分时，积分变量的变化范围就是积分区间，如果默 认就会得出错误的结论。 例5.计算正弦曲线=snx在[0，π上与x轴所围成的平面图形的面积. 解：这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积 A=sin xdx=-cosx5=-(-1)H(-1)=2。 例6.汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等加 速度a=-5m/s2刹车.问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 解从开始刹车到停车所需的时间： 当=0时，汽车速度 o=36km/h=36x1000m/s=10ms. 3600 刹车后1时刻汽车的速度为 (t=vo+at=10-5t. 当汽车停止时，速度()=0，从 v(t)=10-51=0 得，仁2(s). 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 s=0dh=10-5h=[l0i-5t26=10(m), 即在刹车后，汽车需走过10m才能停住 例7.设函数x)在闭区间[a,b]上连续，证明：在开区间(a,b)内至少存在 第12页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 12 页 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2        x dx x  例 2 计算 2 3 1 1 x dx    解 由于 arctan x 是 2 1 1 x 的一个原函数 所以 3 2 1 3 1 [arctan ] 1      x x dx arctan 3arctan(1)    12 7 ) 4 ( 3      例 3. 计算    1 2 1 dx x  解 1 2 1 2 [ln| |] 1       dx x x ln 1ln 2ln 2 例 4. 计算 0 I xdx 1 cos2     . 解： 2 0 0 0 I xdx xdx x dx 1 cos2 = 2cos 2 cos          2 2 0 0 2 2 2 cos 2 cos 2[sin ] 2[sin ] 2 2 2 2 xdx xdx x x                注意：求不定积分时，通常未指明积分变量的变化范围，因此一般默认 2 cos =cos x x 。计算定积分时，积分变量的变化范围就是积分区间，如果默 认就会得出错误的结论。 例 5. 计算正弦曲线 ysin x 在[0 ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积 解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积   0 0 A sin xdx[cosx]  (1)(1)2 例 6. 汽车以每小时 36km 速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加 速度 a5m/s2 刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离？ 解 从开始刹车到停车所需的时间 当 t0 时 汽车速度 v036km/h 3600 361000  m/s10m/s 刹车后 t 时刻汽车的速度为 v(t)v0at 105t  当汽车停止时 速度 v(t)0 从 v(t)105t 0 得 t2(s) 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 s v(t)dt (10 5t)dt 2 0 2 0      ] 10 2 1 [10 5 2 0 2  t  t  (m) 即在刹车后 汽车需走过 10m 才能停住 例 7.设函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续，证明：在开区间(a, b)内至少存在