银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第五章 定积分

银川能源学院《高签激学》救案 第五章定积分 之间的各部分面积的代数和.例如，当函数x)如图所示时， x达=A-4+4-A+4 用定积分的定义计算定积分： 例1.利用定义计算定积分x2。 解把区间0,1]分成n等份，分点为和小区间长度为 ==l,2,ml,A=hl,2,m. 取=1(=1,2，，n),作积分和 立-2-2台分 i=l iin n -2r-an-哈2加片 因为1=，当元→0时，n0,所以 2=2gg=0+片p+号 10台 n6 n 利定积分的几何意义求积分： 例2.用定积分的几何意义求1-x。 解：函数y=1-x在区间[0,1]上的定积分是以=1-x为曲边，以区间[0,1] 为底的曲边梯形的面积.因为以=1-x为曲边，以区间[0,1]为底的曲边梯形是 一直角三角形，其底边长及高均为1，所以 (-xyk-xlxl- 例3.用定积分的几何意义求V匠-d(a>0). 解：由定积分的几何意义，此定积分是以上半圆y=√：-x2为曲边，以区 间[0，a为底的曲边梯形的面积，即半径为a的四分之一圆的面积，故 SYa-xdx=Ina. 4 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 6 页 之 间 的 各 部 分 面 积 的 代 数 和  例 如 ， 当 函 数 f(x) 如 图 所 示 时 ， 1 2 3 4 5 ( ) b a f x dx A A A A A       。 用定积分的定义计算定积分 例 1. 利用定义计算定积分 x dx 2 1 0   解 把区间[0 1]分成 n 等份 分点为和小区间长度为 n i xi  (i1 2   n1) n xi 1   (i1 2   n)  取 n i i  (i1 2   n) 作积分和            n i i n i i i n i i n n i f x x 1 2 1 2 1 1 ( )  ( ) ( 1)(2 1) 6 1 1 1 3 1 2 3        n n n n i n n i ) 1 )(2 1 (1 6 1 n n     因为 n 1    当0 时 n 所以 3 1 ) 1 )(2 1 (1 6 1 lim ( ) lim 1 0 2 1 0            n n x dx f x n n i i i   利定积分的几何意义求积分: 例 2 用定积分的几何意义求   1 0 (1 x)dx  解: 函数 y1x 在区间[0 1]上的定积分是以 y1x 为曲边 以区间[0 1] 为底的曲边梯形的面积 因为以 y1x 为曲边 以区间[0 1]为底的曲边梯形是 一直角三角形 其底边长及高均为 1 所以 2 1 1 1 2 1 (1 ) 1 0       x dx  例 3 用定积分的几何意义求 2 2 0 ( 0) a a x dx a     解: 由定积分的几何意义，此定积分是以上半圆 2 2 y a x   为曲边 以区 间[0 a]为底的曲边梯形的面积，即半径为 a 的四分之一圆的面积，故 2 2 2 0 1 4 a a x dx a     

银川能源学院《高签数学》救案 第五童定积分 第二节定积分的基本性质 由定积分的定义及极限的运算法则，可以推出定积分有以下性质。为了叙 述方便，假设下列各性质中所列出的定积分都是存在的。 性质1函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）即 x)±gx)k=心fx±心gxd. 正明*sk=把2s -2A±2 =心fxk±gxh 推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即 Lf()±i)士士fx=fx士∫(x)士士心f.x 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即 jx=kfx达. 这是因为机h=立=三rE4=7e 性质3如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部 分区间上定积分之和即 fx=Cfx+心fx. 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何总有等式 心x=fx+心fx达 成立.例如，当a<b<c时，由于 [f(xdx=fdx+f(ds 于是有 f(xdx-f(xd-f(xxf(dx+f(d 这一性质可以用于求分段函数的定积分。 1+x,x<0 例1：己知fx)= 0求fe。 解：由于被积函数为连续的分段函数，所以定积分应分段积分，根据性质 3可得 ∫fx)k=0+xk+-) 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 7 页 第二节 定积分的基本性质 由定积分的定义及极限的运算法则，可以推出定积分有以下性质。为了叙 述方便，假设下列各性质中所列出的定积分都是存在的。 性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即       b a b a b a [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 证明:   b a [f (x) g(x)]dx       n i i i i f g x 1 0 lim [ ( ) ( )]            n i i i n i i i f x g x 1 0 1 0 lim ( ) lim ( )       b a b a f (x)dx g(x)dx  推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ... ( )] ( ) ( ) ... ( ) b b b b n n a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx            性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即    b a b a kf(x)dx k f (x)dx  这是因为       n i i i b a kf x dx kf x 1 0 ( ) lim ( )         b a n i k lim f ( i ) xi k f (x)dx 1 0    性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部 分区间上定积分之和 即      b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式      b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 成立 例如 当 a<b<c 时 由于      c b b a c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  于是有      c b c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx     b c c a f (x)dx f (x)dx  这一性质可以用于求分段函数的定积分。 例 1：已知 1 , 0 ( ) 1 , 0 2 x x f x x x           ，求 2 1 f x dx ( )  。 解：由于被积函数为连续的分段函数，所以定积分应分段积分，根据性质 3 可得 2 0 2 1 1 0 ( ) (1 ) (1 ) 2 x f x dx x dx dx         

银川能源学院《高签数学》救集 第五童定积分 利用定积分的几何意义，可得 a+=-=1 所以有矿e达-- 性质4如果在区间[ab]上fx)归1则 [1k=心d=b-a. 性质5如果在区间[a,b]上fx)20,则 fx≥0(a<b). 推论1如果在区间[a,b上fx)sgx)则 fk≤心gxk(a<b). 这是因为gx-fx)20,从而 g(x-fx=gx)-fw)k≥0， 所以 心f≤心gex. 推论2心f华自fx(a<b) 这是因为-fx1≤fx)≤fx儿所以 自≤信fx达≤/xl达， 即 fxsfxldl. 性质6设M及m分别是函数x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 mb-a)sf"f(x)dxsM(b-a)(a<b). 证明因为msfx)sM,所以 mdk≤ffx≤心Md, 从而 mb-a)sfx≤Mb-a). 这个性质表明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值，可以估计积 分值的大致范围。 性质7（定积分中值定理）如果函数x)在闭区间[a,b]上连续，则在积 分区间[a,b]上至少存在一个点5，使下式成立： [f(xxk-/(EXb-a. 这个公式叫做积分中值公式。 证明由性质6 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 8 页 利用定积分的几何意义，可得 0 2 1 0 1 (1 ) = (1 ) 1 2 2 x x dx dx       ， 所以有 2 1 1 3 ( ) 1 2 2 f x dx      。 性质 4 如果在区间[a b]上 f (x)1 则 dx dx b a b a b a      1  性质 5 如果在区间[a b]上 f (x)0 则   b a f (x)dx 0 (ab) 推论 1 如果在区间[a b]上 f (x) g(x) 则    b a b a f (x)dx g(x)dx (ab) 这是因为 g (x)f (x)0 从而        b a b a b a g(x)dx f (x)dx [g(x) f (x)]dx 0  所以    b a b a f (x)dx g(x)dx  推论 2    b a b a | f (x)dx| | f (x)|dx (ab) 这是因为|f (x)|  f (x)  |f (x)|所以       b a b a b a | f (x)|dx f (x)dx | f (x)|dx  即    b a b a | f (x)dx| | f (x)|dx |  性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则      b a m(b a) f (x)dx M(b a) (ab) 证明 因为 m f (x) M  所以      b a b a b a mdx f (x)dx Mdx 从而      b a m(b a) f (x)dx M(b a) 这个性质表明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值，可以估计积 分值的大致范围。 性质 7 (定积分中值定理) 如果函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 则在积 分区间[a b]上至少存在一个点 使下式成立    b a f (x)dx f ()(b a)  这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质 6

银川能源学院《高签激学》救朱 第五童定积分 mb-a)≤fxk≤Mb-a, 各项除以b-a得 m≤M, 再由连续函数的介值定理，在[a,b]上至少存在一点5，使 je=。a, 于是两端乘以b-a得中值公式 [f(xxb-/)b-a. 积分中值公式的几何解释： 应注意：不论a<b还是心b,积分中值公式都成立 积分中值定理的几何意义是：在区间[a,b]上至少存在一点5，使得以区间 [a,b]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的 y=f(x) f(5) 曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f(5)的矩形的面积。 a5 如果)在区间a的上连续，算式6达称为函数)在闭区间 [a,b]上的平均值。 如己知某地某日自0时到24时天气温度的曲线f(t),t为时间，则 f0山表示为该地该日的平均气温。 又如物体以()作变速直线运动，在时间区间[I☑，)]内物体所经过的路程 为0山，则。70h促是运动物休在时间段，]内的平约速度. 第9页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 9 页      b a m(b a) f (x)dx M(b a) 各项除以 ba 得     b a f x dx M b a m ( ) 1  再由连续函数的介值定理 在[a b]上至少存在一点  使    b a f x dx b a f ( ) 1 ()  于是两端乘以 ba 得中值公式    b a f (x)dx f ()(b a)  积分中值公式的几何解释 应注意 不论 a<b 还是 a>b 积分中值公式都成立 积分中值定理的几何意义是：在区间[a,b]上至少存在一点  ，使得以区间 [a,b]为底边，以曲线 y f x  ( ) 为曲边的 曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f ( )  的矩形的面积。 如果 f x( ) 在区间[a,b]上连续，算式 1 ( ) b a f x dx b a   称为函数 f x( ) 在闭区间 [a,b]上的平均值。 如已知某地某日自 0 时到 24 时天气温度的曲线 f t t ( )， 为时间，则 24 0 1 ( ) 24 f t dt  表示为该地该日的平均气温。 又如物体以 vt() 作变速直线运动，在时间区间 1 2 [ , ] T T 内物体所经过的路程 为 2 1 ( ) T T v t dt  ，则 2 1 2 1 1 ( ) T T v t dt T T  便是运动物体在时间段 1 2 [ , ] T T 内的平均速度。 b a  f ( )  y f x  ( ) y O x

银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 第三节微积分基本公式 在第一节中，已经举过应用定积分定义计算定积分的例子，从实际例子可 以看到，用定积分定义计算定积分，一般来说，计算复杂，难度较大。因此， 必须寻找一种简单易行的计算定积分的新方法。 下面先从实际问题中寻找解决问题的线索。为此，对变速直线运动中的位 置函数s()和速度函数v)之间的联系作进一步的研究。 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动，在1时刻所经过的路程为S),速度为 =W)=S()(()≥0)，则在时间间隔[T,T2]内物体所经过的路程S可表示为 ST)-sT)及0d, 即 di=S()-S(). 上式表明，速度函数v0)在区间[T1,T]上的定积分等于v()的原函数S()在 区间[T,T]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.我们把函数x) 在部分区间[a,y上的定积分fx女，称为积分上限的函数.它是区间[a,1上 的函数，记为x)=fx,或(x)上fh. 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数 D(x)=["f(x)dx 在[a,b]上具有导数，并且它的导数为 )=&/0d=fe(a≤rb 简要证明： 若x∈(a,b),取△x使x+△r∈(a,b), △d=D(x+Ax-Φ(x)=+afo)dh-Cf0d y=f(x) -fd+d-ffd -f(di=f)x, o(x) 应用积分中值定理，有△Φ=∫()△x, aX5x+△xb 其中在x与x+△x之间，△x0时，5x.于是 099: Φ'(x)=lim 21 第10页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 10 页 第三节 微积分基本公式 在第一节中，已经举过应用定积分定义计算定积分的例子，从实际例子可 以看到，用定积分定义计算定积分，一般来说，计算复杂，难度较大。因此， 必须寻找一种简单易行的计算定积分的新方法。 下面先从实际问题中寻找解决问题的线索。为此，对变速直线运动中的位 置函数 s(t)和速度函数 v(t)之间的联系作进一步的研究。 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 S(t) 速度为 vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程 S 可表示为 ( ) ( ) S T2 S T1 及 v t dt T T ( ) 2 1   即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt S T S T T T     上式表明 速度函数 v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在 区间[T1 T2]上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数 f(x)在区间[a b]上连续 并且设 x 为[a b]上的一点 我们把函数 f(x) 在部分区间[a x]上的定积分 f x dx x a ( )  ,称为积分上限的函数 它是区间[a b]上 的函数 记为 (x) f x dx x a ( )    或(x) f t dt x a ( )   定理 1 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx x a ( )   在[a b]上具有导数 并且它的导数为 (x) f (t)dt f (x) dx d x a    (ax<b) 简要证明: 若 x(a b) 取x 使 xx(a b) (xx)(x) f t dt f t dt x a x x a ( ) ( )      f t dt f t dt f t dt x a x x x x a ( ) ( ) ( )        f t dt f x x x x     ( ) ()  应用积分中值定理 有f ()x 其中在 x 与 xx 之间 x0 时 x  于是 (x) lim lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 f f f x x x x x                ( ) x x x x  b a  y f x  ( ) y O x