y(t)=b1u(t)+b2(t)+b4(1), (1丿 为确定(1)式的系数,分别视u(t),(),n}()为三个变量,X(),2(),X3(r),用最小二 乘估计对y(t)进行三元回归 q对b,b2,b1分别求偏导,得到b1,b2,b使(2)最小, b2∑x1x1一b∑x 由所给数据解方程组(3),得出系数b1,b2,b 「b1=0.237897 b=0.00041445 故 (t)=0.237897(t)+0.0455449w2(t)-0.00041445(t) (5) (5)式即为y(t)的表达式.同时,我们又用 Mathematica软件对题中数据进行函数 拟合,所得结果与上式精度十分接近,可见(5)式是较精确的 2.交调频率(5)式确定了y(t)与“t)的关系及有关的交调频率,为此,可以将(t) 的具体表达式()=A,cos2xr1代人(5).在化简过程中,出现了以下形式的频率 和交调: 由题目所给条件(1)可知;±f(i,-1,2,3),f+一(i,,一1,2,3)及 f;-f(i,j,=1,2,3,÷k),都远离可能对f产生干扰的频带[30,611,即它们对输 入频率f(i=1,2,3)不会产生干扰,例如 61<36+41<f;+<f+f+f(i,,=1,2,3) 因此讨论时,可不考虑含有这些形式的交调的项,而只对出现在[30,611频带中的形 如f;+f一f(i,,k=1,2,3)的输人信号和交调项进行讨论,这些交调分别为 ①f+力一f,②f十f一f,③f+f一f (6) 这样得到了y(t)中有用的各项的振幅 含有频率f的振幅B(i-1,2,3),B;-b14;十b2A丹
2)含有三阶交调f;+f一f(i,,=1,2,3,i,,互不相等)形式的振幅,均为 3b2,A,A1 ③含有三阶交调2-f(i,-1,2,3,÷;)形式项的振幅为:3b2君A, 3.算法 为了确定所求的解,我们用条件4)中的信噪比进行挑选.又由条件5),f;只取整数 这样我们通过计算机得出其离散解,按以下三步进行: ①对f1,f2,在互不影响的情况下进行穷举,讨论所有可能的整数值 ②对交调进行判断,即:使满足条件①的f,f;,f的形如(6)式中形式的交调f。不 能进入任一个fi-1,2,3)的接收带, 运用一、中条件4),即对满足以上 条件且f一f±6的交调,用信噪比条件 进行筛选 于是得到如右表6组结果满足条件① ②经过条件4)的筛选后,只有两组解为最 5 终结果,即:Q36,42,55②36,49,55, 由结果看出,f,f3均取其边界值,而f2的 取值分别距f1,f;为可能取到的最小距离 五、稳定性分析 1.函数系数的稳定性分析 这里我们讨论所拟合的多项式系数的波动对解的影响,共有6组结果满足(6)形式的 交调,其中4组不合乎信噪比的要求,2组是满足的,即我们要确定各系数的变化范围 使解仍是解,非解仍是非解,经过计算得到以下3组不等式组: b+3cb,)-90644>0, (b+2b)-964A>0, A14) 4(b+7eb)-90b6(A241)2>0 (In) (A+2)-96()≤0
b1+°cb)-90b(A1A1)2> 4(+2+)-944y>0, (I) 4(b+cb)-906(A1A)≤ 其中 A 当b=0.237897,b3一-0.00041445, b1=b1+81,b3=b+83时 上式中(+2h)-(+2)+2(互+是)a+2 上述δ的区间,即为方程系数的波动范围,当系数在此范围内波动时,我们的结果是 稳定的 2对于输出函数中高次项不影响结果的分析 由于本题仅要求考虑二阶、三阶类型的交调,高于4次函数项亦可能产生这种类型的 交调,但由于高于4次项的系数非常小(其量级《10-),故对于某个项要讨论的交 调,由高于4次多项式输出函数所产生该交调的振幅,相对3次多项式输出函数所产生该 交调的振幅的变化在我们讨论的稳定范围之内,所以仅考虑三次多项式函数是足够精确 」 3轴人频率的微小波动不影响结果的分析 在本题中,我们所得到的输入频率的解都是整数解,但应该考虑到,在实际发射时,由 于系统误差及偶然误差,很可能使输入的频率发生微小的变化,根据定理1可知这些微小 的变化对结果是没有影响的,也就是说,我们得到的这些解组是相当稳定的 六、理论归纳与推广 1.结果分析 我们从上面得到的一系列结果中发现了一些有趣的问题。例如:满足条件①②的频 率组有六组 (36,42,55),(36,49,5),(36,42,54)(36,48,54),(37,43,55,)(37,49,55) 每一组频率中最大频率与最小频率之差是大于或等于18的,并且第一、二组,第三 四组,第五、六组分别是关于最大和最小频率的中间值对称的.如:(36,42,54)与(36 48,54)是关于 45对称的 78·
另外,我们在检验数据时还发现,求满足要求的频率组的各个限制条件不是彼此独立 的,其中;一升≥6(≠j),和|+j3一-f2≥6是关键的因素.为此,我们 从理论上做了深入的讨论 定义和定理 定义1.以下集合中的元素 {(f,2,f):36≤f≤40,41≤≤50,46≤≤5,∈Z} 称作可取频率组 定义2.以下各式统称交调条件: ,一f≥σ(i≠j, -f一f≥i≠j l;+b,+c-f|≥σ, 其中i,j,,p取1,2,3;,b,c分别可取±1,a=6 定义3,称满足交调条件的可取频率组,(f1,f1,f3)为解组,记作[f1,2,f] 定义4,以下各条件统称有效交调条件 l;一f≥o(i≠j), lf1+f-f2-f|≥a, lf1+f2-3-f;≥σ (I) lf2+f-f1-f≥σ, (I) 2;-f2-f≥ 2f1-f3-f;1 (VI) 2f一f1一f (其中i,-1,2,3;=6) 从前面的分析,很容易验证如下引理 引理1,若可取频率组满足有效交调条件,则其满足交调条件 定义5,以下条件为基本交调条件 f,一f≥o(i≠j (*) f1+f3-2f2|≥ 引理2,若(f1,f2,f)是解组,则f<五2<f 这可直接由36≤≤40,41≤f2≤50,46≤2≤55推出,故我们可以假设可取频 率组(f,f2,f3)满足f<f2<f 引理3,若(f1,f2,3)为可取频率组且满足基本交调条件,则(f1,f,)为解组 证.设(f1,2,)满足基本交调条件,则我们可分別验证有效交调杀件中的1-X 先验(1) f1+f-f2-f=l;-f2≥ f1+f一f2-f=|-f2≥ 再验(I)