《数学建模》竞赛全国赛优秀论文：出版社资源优化配置的线性规划模型

出版社资源优化配置的线性规划模型 【摘要】:本文讨论出版社的资源优化配置问题,即出版社在总书号数一定的条件 下的书号分配问题,使出版社的利润最大。根据近五年来的数据进行筛选与分析,得出 以分社为单位的书号分配方案,和以课程为单位的进一步细化书号分配方案。 由于出版社在定价时保持对所有教材利润率同一,在此原则上制定教材单价,这就 意味着利润是由销售总额唯一确定的,销售总额越大,利润也越大。问题转化为求销售 总额的最大值的规划问题。 由附件二(读者调查数据表),我们建立了一套市场竞争力评估体系:我们知道市 场竞争力的关键因素有市场占有率、出版社在读者心目中的地位(以下简称地位)、读 者满意度等,于是把市场竞争力定义为以上三个关键因素的线性组合,这既符合实际又 于数据相吻合。通过对历年市场占有率、地位和读者满意度的数据统计分析,我们发现 市场占有率是关于年份的线性函数,而地位和读者满意度几年来没有明显变化,故将 2006年的地位和读者满意度取为前几年的均值。由此我们得出市场竞争力也应是关于年 份的线性函数 在销量关于书号数和市场竞争力的关系的确定问题上,通过对销量和书号数的统计 分析,计算出五年来各个分社单位书号销量,用 Matlab作图观察后,我们发现单位书 号销量是随年份呈指数增长形势的,因此我们大胆推测单位书号的销量与市场竞争力是 成指数型相关的。 销售总额是各分社销售额的和,分社销售额是分社销量与分社均价的乘积,而分社 均价我们定义成分社各课程均价的加权平均数,其权就是各课程的销量。2006年的分社 均价就取为前五年的分社均价的平均值。这样方便了销售总额的计算和模型的线性化求 解,当然也可能产生一定的误差 为了对这种情况加以改进,我们又建立了更精确的数学模型,站在A出版社的高度 直接分配每门课程的书号数,进一步细化分析。 最后我们对模型的可行性,合理性,科学性进行了阐述,得到对模型的整体评价以 及需改进之处。 【关键词】:线性规划海量数据 数据筛选 数据统计分析 数值模拟市场竞争力评估单位书号销量分社均价

1 出版社资源优化配置的线性规划模型 【摘要】：本文讨论出版社的资源优化配置问题，即出版社在总书号数一定的条件 下的书号分配问题，使出版社的利润最大。根据近五年来的数据进行筛选与分析，得出 以分社为单位的书号分配方案，和以课程为单位的进一步细化书号分配方案。 由于出版社在定价时保持对所有教材利润率同一，在此原则上制定教材单价，这就 意味着利润是由销售总额唯一确定的，销售总额越大，利润也越大。问题转化为求销售 总额的最大值的规划问题。 由附件二（读者调查数据表），我们建立了一套市场竞争力评估体系：我们知道市 场竞争力的关键因素有市场占有率、出版社在读者心目中的地位（以下简称地位）、读 者满意度等，于是把市场竞争力定义为以上三个关键因素的线性组合，这既符合实际又 于数据相吻合。通过对历年市场占有率、地位和读者满意度的数据统计分析，我们发现 市场占有率是关于年份的线性函数，而地位和读者满意度几年来没有明显变化，故将 2006 年的地位和读者满意度取为前几年的均值。由此我们得出市场竞争力也应是关于年 份的线性函数。 在销量关于书号数和市场竞争力的关系的确定问题上，通过对销量和书号数的统计 分析，计算出五年来各个分社单位书号销量，用 Matlab 作图观察后，我们发现单位书 号销量是随年份呈指数增长形势的，因此我们大胆推测单位书号的销量与市场竞争力是 成指数型相关的。 销售总额是各分社销售额的和，分社销售额是分社销量与分社均价的乘积，而分社 均价我们定义成分社各课程均价的加权平均数，其权就是各课程的销量。2006 年的分社 均价就取为前五年的分社均价的平均值。这样方便了销售总额的计算和模型的线性化求 解，当然也可能产生一定的误差。 为了对这种情况加以改进，我们又建立了更精确的数学模型，站在 A 出版社的高度 直接分配每门课程的书号数，进一步细化分析。 最后我们对模型的可行性，合理性，科学性进行了阐述，得到对模型的整体评价以 及需改进之处。 【关键词】：线性规划 海量数据 数据筛选 数据统计分析 数值模拟 市场竞争力评估 单位书号销量 分社均价

问题重述 本题研究A出版社,重点关注九个分社72门学科教材的出版销售状况,在以五年市 场调研数据为背景的情况下,预测2006年的市场信息将总量一定的书号数(500)分配给 各分社,使得出版社的利润最大化。 其中书号数的分配主要以产生最大经济效益即利润的原则进行,而教材定价是建立 在利润率不变的情况下的,因此可以认为利润的大小只决定于销售额的大小,而销售额 等于课程销售量乘以课程均价,书本的实际销售量由总社分配给各个分社的书号数决 定,但计算方法没有明确给出。经分析,实际销售量是关于书号数和市场竞争力的函数, 因此准确的找出这个函数以及市场竞争力的发展规律并正确预测出2006年的市场竞争 力是决定分配书号数的关键问题。这需要对前五年的数据进行分析得出函数,以及市场 竞争力的发展规律,求出出版社的书号数分配方案,使得2006年的出版社实际销售总 额 二.问题分析 本题的目的是给出版社提出一个最优的方案,即确定分配给各个分社的书号数,使 得出版社的利润最高。由于出版社在定价时保持对所有教材利润率同一,在此原则上制 定教材单价,这就意味着利润是由销售总额唯一确定的,销售总额越大,利润也越大。 问题转化为求销售总额的最大值的规划问题 以各个分社为单位,销售额是以销售量与价格的乘积来定的。价格在本题中是一个 已知量,而销售量是关于书号数与市场竞争力的未知函数,在假设这个未知函数不根据 时间的改变而改变的情况下,可根据五年的数据确定这个未知函数 市场竞争力是影响实际销售量的一个重要因素,它的准确与否与计算的准确度有莫 大的关系。这需要基于问卷调查的数据评估出来,而市场占有率,A社在读者心中的位 置和其它因素都是市场竞争力影响因素。 市场占有率是在各个分社的基础上,求出每年每个分社的出版物市场占有率,以计 算每年各个分社的销售册数与相应类的出版社总销售册数之比,取值范围应在[0,1]之 间,分析其市场占有率的发展规律,预计2006年市场占有率。 A社在读者心中的地位(以下简称地位),因地位是数字上的越低相当于其分数值越 髙,故基于计算和实际意义的考虑,取每年平均地位数据的倒数来计算,取值范围也在 为⑩,1之间,再以此估计第六年的情况 读者满意度是具体到各个分社的各个学科的,因市场占有率和地位的取值范围都在 [0.1)之间,故读者满意度的计算:应先计算每位读者对教材内容、教材的作者、印刷及 排版质量和教材价格的平均满意度,范围是[0,5],再除以5,使得其落在[0,1之间,再 计算所有读者的平均满意度,范围仍在[O.,1]之间。以读者满意度的发展规律来预计2006 年的读者满意度。 其它因素诸如学校地域性,读者的专业,课程的性质,教材获得方式,新旧书等, 在实际计算出版社的市场竞争力问题上影响极其微弱,可忽略,并将大大降低模型的复

2 一. 问题重述 本题研究 A 出版社,重点关注九个分社 72 门学科教材的出版销售状况，在以五年市 场调研数据为背景的情况下，预测 2006 年的市场信息,将总量一定的书号数(500)分配给 各分社，使得出版社的利润最大化。 其中书号数的分配主要以产生最大经济效益即利润的原则进行，而教材定价是建立 在利润率不变的情况下的，因此可以认为利润的大小只决定于销售额的大小，而销售额 等于课程销售量乘以课程均价，书本的实际销售量由总社分配给各个分社的书号数决 定，但计算方法没有明确给出。经分析，实际销售量是关于书号数和市场竞争力的函数， 因此准确的找出这个函数以及市场竞争力的发展规律并正确预测出 2006 年的市场竞争 力是决定分配书号数的关键问题。这需要对前五年的数据进行分析得出函数，以及市场 竞争力的发展规律，求出出版社的书号数分配方案，使得 2006 年的出版社实际销售总 额。 二．问题分析 本题的目的是给出版社提出一个最优的方案，即确定分配给各个分社的书号数，使 得出版社的利润最高。由于出版社在定价时保持对所有教材利润率同一，在此原则上制 定教材单价，这就意味着利润是由销售总额唯一确定的，销售总额越大，利润也越大。 问题转化为求销售总额的最大值的规划问题。 以各个分社为单位，销售额是以销售量与价格的乘积来定的。价格在本题中是一个 已知量，而销售量是关于书号数与市场竞争力的未知函数，在假设这个未知函数不根据 时间的改变而改变的情况下，可根据五年的数据确定这个未知函数。 市场竞争力是影响实际销售量的一个重要因素，它的准确与否与计算的准确度有莫 大的关系。这需要基于问卷调查的数据评估出来，而市场占有率，A 社在读者心中的位 置和其它因素都是市场竞争力影响因素。 市场占有率是在各个分社的基础上，求出每年每个分社的出版物市场占有率，以计 算每年各个分社的销售册数与相应类的出版社总销售册数之比，取值范围应在[0,1]之 间，分析其市场占有率的发展规律，预计 2006 年市场占有率。 A 社在读者心中的地位（以下简称地位），因地位是数字上的越低相当于其分数值越 高，故基于计算和实际意义的考虑，取每年平均地位数据的倒数来计算，取值范围也在 为[0,1] 之间，再以此估计第六年的情况。 读者满意度是具体到各个分社的各个学科的，因市场占有率和地位的取值范围都在 [0.1]之间，故读者满意度的计算：应先计算每位读者对教材内容、教材的作者、印刷及 排版质量和教材价格的平均满意度，范围是[0,5]，再除以 5，使得其落在[0,1]之间，再 计算所有读者的平均满意度，范围仍在[0,1]之间。以读者满意度的发展规律来预计 2006 年的读者满意度。 其它因素诸如学校地域性，读者的专业，课程的性质，教材获得方式，新旧书等， 在实际计算出版社的市场竞争力问题上影响极其微弱，可忽略，并将大大降低模型的复

杂程度。于是得出市场竞争力是关于市场占有率,地位和读者满意度的线性组合。最终 预测2006年的市场竞争力 符号说明 1,Y=(1,Y2,Y,H2Y3,):A出版社每年的销售总额 2,x=(x)= A出版社分配给各个分社的书号数矩阵 X, X 3,X6=(X6,X2,…X):2006年A出版社分配给各个分社的书号数。 4,X=(X,X,…X):2006年各分社申请的书号数 ZZ 5,Z=(2n)= 第j年第i个分社的市场竞争力。 P1P12…Ps 6,P=()=3是第年第个分社的市场占有率 B9B39…B9 R R R=(R) RR:R 第j年第i个分社出版物的平均价格 8,M:A出版社的总书号数,经计算M=500 9,K=(K1,K2,…K):各出版社计划的准确度。 10,Q:A出版社在读者心目中的地位,用排名平均数的倒数

3 杂程度。于是得出市场竞争力是关于市场占有率，地位和读者满意度的线性组合。最终 预测 2006 年的市场竞争力。 三．符号说明： 1， 1 2 3 4 5 6 Y Y Y Y Y Y Y = ( , , , , , )：A 出版社每年的销售总额。 2， ( ) 11 12 19 21 22 29 51 52 59 ji X X X X X X X X X X X       = =       ： A 出版社分配给各个分社的书号数矩阵 。 3， 6 61 62 69 X X X X = ( , , , )：2006 年 A 出版社分配给各个分社的书号数。 4， 6 61 62 69 ' ' ' ' X X X X = ( , , , )：2006 年各分社申请的书号数。 5，Z =(Z ji) = 11 12 19 21 22 29 51 52 59 Z Z Z Z Z Z Z Z Z             ：第 j 年第 i 个分社的市场竞争力。 6， ( ) 11 12 19 21 22 29 59 59 59 ji P P P P P P P P P P P       = =       ：第 j 年第 i 个分社的市场占有率。 7， ( ) 11 12 19 21 22 29 61 62 69 ji R R R R R R R R R R R       = =       ：第 j 年第 i 个分社出版物的平均价格。 8，M：A 出版社的总书号数，经计算 M=500。 9， K K K K = ( 1 2 9 , , , ) ：各出版社计划的准确度。 10， Q：A 出版社在读者心目中的地位，用排名平均数的倒数

Bu Bu B1 1,B=(B)= B21B2 读者对各个分社的平均满意度 Ju yI 12 :第j年第i个分社的实际销售量。 ys y5 y=(ya,ya,…,y):2006年每个分社的销售量 VI V1.72 15=|2y22:第j年第k门课程的实际销售量 5,N=(N1,N2…N):2006年第i个分社的人力资源工作能力 四.模型假设: 1,读者调查数据基本可信。 2,学校地域性,读者的专业,课程的性质,新旧书等因素对评估出版社的影响微弱, 可以不做考虑 3,2006年的总书号数与前五年是一致的 4,分社销量y与X及Zn的函数关系式yn=f(Xxn,Z)每年是不变的。 五.模型的建立 销售额函数的建立 由于2001-2005年的各个分社的销售量y已经给出,各个分社的出版物平均价格R 可以得到,其计算方法为以分社为单位,相应课程的销售量与课程的均价乘积求平 均值,即第j年第i个分社出版物的平均价格 R 1 ∑ykR ynt分社的课程k

4 11， ( ) 11 12 19 21 22 29 61 62 69 ji B B B B B B B B B B B       = =       ：读者对各个分社的平均满意度。 12， ( ) 11 12 19 21 22 29 51 52 59 ji y y y y y y y y y y y       = =       ：第 j 年第 i 个分社的实际销售量。 13， y y y y 6 61 62 69 = ( , , , )：2006 年每个分社的销售量。 14， 11 12 1,72 21 22 2,72 51 51 5,72 jk y y y y y y y y y y       =         ：第 j 年第 k 门课程的实际销售量。 15， 1 2 9 N N N N = ( , , , ) ：2006 年第 i 个分社的人力资源工作能力。 四．模型假设： 1，读者调查数据基本可信。 2，学校地域性，读者的专业，课程的性质，新旧书等因素对评估出版社的影响微弱， 可以不做考虑。 3，2006 年的总书号数与前五年是一致的。 4， 分社销量 ji y 与 X ji 及 Z ji 的函数关系式 ( , ) ji ji ji y f X Z = 每年是不变的。 五．模型的建立： 一， 销售额函数的建立： 由于 2001~2005 年的各个分社的销售量 y 已经给出，各个分社的出版物平均价格 R 可以得到，其计算方法为以分社为单位，相应课程的销售量与课程的均价乘积求平 均值，即第 j 年第 i 个分社出版物的平均价格 k 1 ji jk k i ji R y R y =  分社的课程

2006年的平均价格R在对每年平均价格数据的分析上得出尽可能准确的估计。 故第j年的销售额Y为第j年各分社销售量y与第j年分社的课程平均价格R的乘 积的和,即销售额 Y=(y)R)=(y1y2…, R R 从而得出Y=(H1,F2,y3,F4,F)。 本题中2006年的销售总额 R6 Y=(yo)(R6)=(y61- 623 o )/R2 R6g ,销量函数的建立 从销售额的计算中,我们知道分社销量函数的确定是至关重要的。而分社销量 y是与分社分配得到的书号数X以及分社的市场竞争力Zn相关的,确定分社销量 yn与X及Z的函数关系式y=f(xn,Zn)也必须基于2001-2005年的分析上。由 于分社销量y与分社分配得到的书号数X是已知的,故问题转化为市场竞争力Z 与分社销量y与分社分配得到的书号数Xn的函数关系式ZB=v(,Xn),由假设4 可知Zn=v(yn,X,)也是不随年份的变化而变化的。 市场竞争力函数的建 市场竞争力Z。是根据读者调查数据的分析上,是三个关键因素市场占有率P, 读者满意度B,A出版社在读者心目中的地位Q的线性组合,即 zn=1P+12B+nQ,G,2,>0),再由Zn=v(ym,X)可以确定出权 nEn,n,得出市场竞争力函数,由于函数不随年份而改变的,所以2006的各个 分社的市场竞争力可以做出预测。 四,模型建立:

5 2006 年的平均价格 R6 在对每年平均价格数据的分析上得出尽可能准确的估计。 故第 j 年的销售额 Yj 为第 j 年各分社销售量 j y 与第 j 年分社的课程平均价格 R j 的乘 积的和，即销售额 ( )( ) ( ) 1 t 2 j j j j1 j2 9 9 Y = y R = y ,y , , j j j j R R y R               从而得出 1 2 3 4 5 Y Y Y Y Y Y = ( , , , , ) 。 本题中 2006 年的销售总额 ( )( ) ( ) 61 t 62 6 6 6 61 62 69 69 Y = y R = y ,y , , R R y R             二， 销量函数的建立： 从销售额的计算中，我们知道分社销量函数的确定是至关重要的。而分社销量 ji y 是与分社分配得到的书号数 X ji 以及分社的市场竞争力 Z ji 相关的，确定分社销量 ji y 与 X ji 及 Z ji 的函数关系式 ( , ) ji ji ji y f X Z = 也必须基于 2001~2005 年的分析上。由 于分社销量 ji y 与分社分配得到的书号数 X ji 是已知的，故问题转化为市场竞争力 Z ji 与分社销量 ji y 与分社分配得到的书号数 X ji 的函数关系式 ( , ) Z v y X ji ji ji = ，由假设 4 可知 ( , ) Z v y X ji ji ji = 也是不随年份的变化而变化的。 三， 市场竞争力函数的建立： 市场竞争力 Z ji 是根据读者调查数据的分析上，是三个关键因素市场占有率 Pji ， 读 者 满 意 度 B ， A 出 版 社 在 读 者 心 目 中 的 地 位 Q 的 线 性 组 合 ， 即 1 2 3 1 2 3 0) Z r P r B r Q r r r ji i ji i j i ji i i i = + +  ,( ， ， ，再由 ( , ) Z v y X ji ji ji = 可 以 确 定 出 权 1 2 3 , , ji ji ji r r r ，得出市场竞争力函数，由于函数不随年份而改变的，所以 2006 的各个 分社的市场竞争力可以做出预测。 四， 模型建立[1]：