函数与方程
函数与方程
下列命题正确的是 (c) (A)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 (B)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不 断),则fa)b)<0. (C)二次函数y=ax2+bx+c(a+0)在b2-4c<0时没有零 点 (D)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的 近似值
下列命题正确的是 （ ） (A)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (B)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不 断)，则f(a)·f(b)＜0. (C)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b 2－4ac＜0时没有零 点． (D)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的 近似值． C
考点、函数零点的判断与求解 【例1】(1)(2014唐山一模)设∫x)=e+x-4,则函数fx)的零点 位于区间() 利用零点有在性定 理 A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) (2)见下一页 解析(1)∵fx)=e+x-4 f(x)=ex+1>0, ∴函数(x)在R上单调递增, 对于A项,f(-1)=e-1+(-1)-4=-5+e 1<0, f0)=-3<0,f(-1)()>0,A不正确; 同理可验证B,D不正确, 对于C项,∵∫(1)=e+1-4=e=3<0
解析 (1)∵f(x)＝e x＋x－4， ∴f′(x)＝e x＋1＞0， ∴函数f(x)在R上单调递增， 对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－ 1＜0， f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确； 同理可验证B，D不正确， 对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0， f(2)＝e 2＋2－4＝e 2－2＞0，f(1)f(2)＜0. 考点一 函数零点的判断与求解 【例 1】(1)(2014·唐山一模)设 f(x)＝e x ＋x－4，则函数 f(x)的零点 位于区间( ) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) (2)见下一页 利用零点存在性定 理
【例1】(2)(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0 时,八x)=x2-3x则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( B.{-3,-1,1,3} 转化为求方程g(x)=0的 1,3}D.{-2- 根 (2)当x≥20时,八x)=x2-3x, 令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1 当x<0时,-x>0,∴f-x)=(-x)2-3( 八2计3￥24备 3x x+3=0 函数(x)=(x)=x+3的零点的集合是{-2-V,1,3}, 答案(1)C(2)D
(2)当x≥0时，f(x)＝x 2－3x， 令g(x)＝x 2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1. 当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x) 2－3(－ x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x，∴f(x)＝－x 2－3x. 令g(x)＝－x 2－3x－x＋3＝0， 【例 1】(2)(2014·湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥ 0 时，f(x)＝x 2 －3x.则函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( ) A．{ 1，3} B．{－3，－1，1，3} C．{ 2－ 7，1，3} D．{－2－ 7，1，3} 转化为求方程g(x)＝0的 根 得 x3＝－2－ 7，x4＝－2＋ 7＞0(舍)， ∴函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合是{－2－ 7，1，3}， 答案 (1)C (2)D
规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零 点存在性定理,转化为确定区间两端点对应的 函数值的符号是否相反 (2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知, 求函数的零点与求相应方程的根是等价的.对 于求方程x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)= f(x)-g(x),函数F(x)的零点即方程(x)=g(x)的 根
规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零 点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的 函数值的符号是否相反． (2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知， 求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对 于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝ f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)＝g(x)的 根．