y2=c2-2cx(c>0). 这也是抛物线族，如图1-6的实线所描画.这是一块很大的带电金 属平板（负实轴是它的截口）的静电场. 读者可以注意到，本节只是任取某个解析函数，然后闸明它描 写什么样的平面场，最多也不过从等温网的两族曲线中的一族出 发阐明所描写的是什么样的平面场，因此具有很大的局限性.实际 上更重要的问题是针对具体的平面场找出适当的复势，关于这个 问题参看本书第十四章保角变换法 习 题 1.已知复势f(z)=1/(x一2+i),试描画等温阿. 2.已知流线族的方程为“y/x=常数”，求复势. 3.已知等势线族的方程为“x2十y2=常数”，求复势. 4.已知电力线为跟实轴相切于原点的圆族，求复势 5.在圆柱|z=R的外部的平面静电场的复势为f(x》=2ln(R/z),求 柱面上的电荷面密度， 6.有两个平行而均匀带电的线电荷，每单位长度所带电量分别是十g和 一g,两线相距2a.求这个平面静电场的复势、电场线和等势线. S1.6多值函数 前面介绍的初等函数中，除了单值函数外，还有根式函数，对 数函数等多值函数.本节以根式函数 w=√之 (1.6.1) 为例介绍多值函数的-一些基本性质， 由(1.l.19),w=√2=√z,e(AR/2.把w的模和辐角分别 记作r和8，则除了=0以外，有 r=小z、0=2Argz=2arg之+n. (1.6.2) 年23±
这样，和的主辐角有两个值（对应于n=0和n=1): 8-2argz,0,=2rgx+元， (1.6.3) 相应地给出两个不同的心值 w1=√zeg2 (1.6.4) (w2=√Te(a*/2+x 这称为多值函数w=√z的两个单值分支， 实变函数也有多值的.例如，对于任意指定的非零实数x,二 次根式√x有+√x和一√E两个单值分支.但是，十√x和 一√x完全可以看作两个独立的单值函数.复变函数的单值分支 则不然，它们并非互相独立.例如，以(1.6.4)的单值分支之一w1 而论，设之从图1-7的某个点x出发，相应地，w从w1=√1z。 e%2出发.之沿闭合路径l(1包围z=0)绕行一周而回到zo,Arg x增加了2x.按照(1.6.2)，w的辐角增加π，从而w=√|z。1 euga/+,这就进入了另一单值分支2，由此可见，(1.6.4)的w1 和w2不能看作两个独立的单值函数.当然，如果从。出发，沿另 一闭合路径'('不包围z=0)绕行一周而回到xo,Agx没有改 变，w仍然等于√zewg。2,仍然在单值分支w,没有转入单值 分支w2, 因此，之=0点具有这样的特征：当x绕该点一周回到原处时， 对应的函数值不复原 一般地说，对于多值函数w=∫(x),若x绕某点一周，函数值 ,不复原，而在该点各单值分支函数值相词，则称该点为多值函数 的支点.若当z绕支点n周，函数值w复原，便称该点为多值函数 的t一1阶支点.例如，函数=√z,显然，之沿1绕支点z=0两 周后，w值还原，因此，？=0是w=√之的一阶支点. ·24、 -
图1-？ 除了x=0外，之=∞亦是w=√之的一阶支点.要说明这一 点，只需令=则有w-√日“。当：绕=0-周同到原 处时，w值不还原，绕两周后w值还原，因此t=0,即x=∞为w= √z的一阶支点. 现在试用一种形象化的方式来描述多值函数w二√之的值的 变化情况.这里约定，对两个单值分支，宗量的变化范围分别是 对于单值分支w1,0≤Argz<2π； 对于单值分支w2,2x≤Arg之<4x. 现在用几何图形来表示（图1-8），在平面T1上，从z=0开始，沿 正实轴方向至无限远点将其割开，并规定，割线上缘对应Agx一 0,下缘Arg之=2x,这样，z在该平面上变化时，只要不跨越割线， 其辐角便被限制在0≤Argz<2x范围内，相应的函数值位子w 平面的上半平面，0≤Argw<x.在平面T:上也作类似的切割，但 割线上缘对应于Arg之一2π，下缘对应于Arg之=4π，同样，z在该 平面上变化时亦不得跨越割线，与该平面上的x值对应的函数值 位于w平面的下半平面. ·25
Argz-2m 图1-8a e平面 图1-8b 由于在割开的两个平面上，宗量变化时均不得跨越割线，因而 任何闭曲线都不包含支点x=0于其内，因此函数值也只能在一个 单值分支上变化 进而，我们将平面T:和平面T2作如下结合，将平面T,的割 线上缘与平面T2的割线下缘连起来，而将平面T1的割线下缘与 平面T2的割线上缘连起来，构成一个两叶的面，称为函数w二 √z的黎曼面。 现在让我们来观察一下当之在这双叶黎曼而上变化时，函数 值w如何变化.设z从平面T:上某点出发而连续变化.绕x =0一圈，它的轨迹1将跨越割线Argz=2π而到达平而T:上与 z8”复数值相同的z8”点，相应的函数值从图1-8(b)中的w)沿 ·26·
与（相应的L路线到达w2’,当x继续再绕x=0一圈，它的轨迹 将跨越连起来的割线Argz=0和Argz=4x而回到平面T1上的 z”,相应的0值也从2沿相应路径I'从2)回到.这样， 和相接而构成黎曼面上的一条闭合路径，相应地，曲线L和L 相接构成平而上的一条闭合路径.我们看到黎曼面上的点与w 平而上的点是一一对应的，面且，从黎曼而的结构可以看出，两个 单值分支相互衔接，并可连续过渡，从一支到达另一支、 习 题 指出下列多值函数的支点及其阶，并作出黎曼面， (1)2-a, (2)V(x-a)(x-b), (3)Inz, (4)ln(x-a). 团 ·27·