fe)-V2ocos号+C+iV2asin号 =√2pcos号+isin+C=V2z+C. 习 题 1.某个区域上的解析函数如为实函数，试证它必为常数. 2.已知解析函数「(z)的实部u(x,y)或虚部(xy),求该解析函数. (1)u=e'siny, (2)u=e(xcosy-ysiny)f(0)=0, 2sin2z (3)w=ew+ew2c052a0)=0, (4)v= z+y,f（2)=0, 5-言+)-0， (6)u=x2-y2+xyf(0)=0, (7)=x3-3y2,f(0）=0, (84=E+6ry-3y2-2,f意)=0 (9)u=x-6x2y2+y4,f(0)=0, (10)u=lnp,f(1)=0, (11)=p,f(1)=0. 3.试从极坐标系中的柯西-黎曼方程(1.3.4)消去“或. 本题答案就是拉普拉斯方程(1.4.2)在极坐标系中的表示式 §1.5平面标量场 物理上及工程技术上常常需要研究各种各样的场，例如电磁 场、声场、温度场等.通常，这些场均随时间而变，随空间地点而异. 若场与时间无关，则称为恒定场，例如静电场、流体中的定常流速 场等.若所研究的场在空间某方向上是均匀的，从而只需要在垂直 于该方向的平面上研究它，这样的场便称为平面场.本节拟对解析 函数在平面场研究中的应用作一介绍 ·18…
首先研究平面静电场.在没有电荷的区域，静电场的电势满足 二维拉普拉斯方程.这样，电场所处区域上的某一解析函数f(x) =”(x,y)十(x,y)的实部或虚部就可以被用来表示该区域上静 电场的电势.我们把这一解析函数叫作该平面静电场的复势，因为 它的实部或虚部就是电势 为叙述的确定起见，不妨说 u(x,y)是电势，曲线族“u(x,y)= 常数”是等势线族.从(1.4.1)知 道，曲线族“(x,y)一常数”垂直 于等势线族“u(x,y)=常数”，因 而“v(x,y》=常数”正是电场线 族.不仅如此，的值本身就具有 图1-4 物理意义.取定两点A(x1,y1)和B(x2,y2),任作一曲线联接A和 B(图1-4).试计算穿过曲线AB的电通量（这其实指的是通过-· 块柱面的电通量，这块柱面跟我们所研究的平面相交于曲线AB, 柱面的母线垂直于所研究的平面，柱高为1) N=E.ds 曲线AB的切线的方向余弦是票和能，所以法线m的方向余弦是 ds :二一 光和% 一这样， dx E,=E·n=audy-udx ax ds ay ds' 于是 B N- audx= JAax ey ax B =dv=v(r2,y2)一(x1y1). A 这是说，v(x,y)在A和B两点所取的值之差就是A和B两点之 间穿过的电通量.函数(x,y)叫作通量函数.由此可见，只要给出 •19…
复势，就不仅给出了电势分布，而且还直接给出电场线族的方程、 ◆ 电通量密度并从而给出电荷密度 同理，在液体的无旋流动中，有所谓平面无旋液流，由于没有 祸旋，速度矢量可以表为某个标量的梯度，这个标量叫作速度势. 借助于速度势就把平面无旋液流问题表为平面标量场问题.在没 有源和汇的区域上，速度势满足拉普拉斯方程（参看流体力学书籍 或本书§7.1).因此，某个区域上的解析函数 f(z)=u(x:y)+iv(x,y) 的实部或虚部总可以表示该区域上某种平而无旋液流的速度势， 解析函数∫（之）就叫作该平面无旋液流的复势.为确定起见，设 (xy)是速度势，则曲线族“u(x,y)=常数”就是流线族，(x,y) 是流量函数，它在A和B两点所取的值之差就是A和B两点之 间穿过的流量. 同理，在物体的稳定温度分布中，有所谓平面温度场.均匀物 体中的稳定温度分布满足拉普拉斯方程（参看本书§7.1）.因此， 某个区域上的解析函数f(x)=(x,y)+i(x,y)的实部或虚部总 可以表示该区域上某种平而温度场的温度分布.为确定起见，设 u(x,y)是温度分布，则曲线族“(x,y)=常数”就是热流线族， (x,y)是热流量函数，它在A和B两点所取的值之差则正比于A 和B两点之间穿过的热流量， 通常借用平面温度场的词汇把曲线族“u(x,y)=常数”和 “0(x,y)=常数”叫作等祖网. 例1开平面上的解析函数 f(z)=z2=(x2-y)+i2xy 的实部和虚部分别是 {u(x,y)=x2一y2, (x,y)=2xy. 图1-5用虚线描画曲线族“u(x,y)=常数”，用实线描画曲线 族“(x,y)=常数”，后者包括实轴和虚轴在内. ·20
作为平面静电场看，这是两块互相垂直的很大的带电导体平 面（实轴和虚轴是它们的截口）的静电场，实线是等势线，虚线是电 场线. 图1-5 图1-6 作为平面无旋液流看，这是液体从虚轴的十○方向流来，被x 轴阻拦而分向两方流去的情形，实线是流线，虚线是等速度势线， 例2已知平面静电场的电场线为抛物线族 y2=c2+2cx(参数c>0) (见图1-6中的虚线)，求等势线 解从电场线方程解出参数c, c=一x士√x2十y 题已注明c>0,所以根号前应取十号，即 x+√x2+y2=c. 我们知道，电场线的方程应该是“v(x,y)=常数”，拿这跟上 式比较，似乎可以得到 v(x,y)=-x+√2+y2 但这是完全错误的！道理很简单，(x,y)必须是调和函数（即满足 拉普拉斯方程)，而一x十√x+y并不是调和函数.这里只能说 刘=(t) (t=x+√x2+y2), 其中F是某个尚待确定的函数关系，这是因为把上式代入“=常 数”同样可得电场线方程一x十√x2+y=. ·21·
现在根据(xy)是调和函数这个条件来确定函数F(t). -u[刂+a[ -o[产1+ua 同理， 萨-u[产+ree 代入拉普拉斯方程得 1-]++=o 即 2[√2+y-x]F"(t)+F(e)=0, 亦即 8- F(t) 积分一次， F'()=C 再积分一次， F(t)=C1√t+Cz, 于是求得 v=F(t)=C1√/t+C2=C,W-x+√x2+y+C2. 引用§1.4例2的结果就求出 u=CV2pcos号+C. 从而等势线方程为 C,V2pcos号+C,=常数， 变换到直角坐标，得 ·22