上游充通大 SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY 随机模拟方法及应用 Stochastic Simulation Methods and Its Applications 课程论文 THESIS OF CURRICULUM AI HAO TONG UNIVERS 对流-扩散方程源项识别反问题的MCMC方法论文研读 专 业：材料科学与工程 班 级： F1405101 学 号： 5140519014 学生姓名： 孙密广 指导教师： 当柳青 完成时间：2022年3月11日
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院 F1405101 班 孙密广 学号：5140519014 SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY 随机模拟方法及应用 Stochastic Simulation Methods and Its Applications 课程论文 THESIS OF CURRICULUM 对流-扩散方程源项识别反问题的 MCMC 方法论文研读 专 业：材料科学与工程 班 级： F1405101 学 号： 5140519014 学生姓名： 孙密广 指导教师： 肖柳青 完成时间：2022 年 3 月 11 日
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院F1405101班孙密广学号：5140519014 对流-扩散方程源项识别反问题的MCMC方法论文研读 材料科学与工程学院 F1405101班孙密广学号：5140519014 目录 1.摘要.… 2 2.MCMC方法基本介绍... 2 3.用Metropolis算法对密度函数进行抽样..2 3.1伽马分布及问题. 3 3.2 matlab程序.... …3 3.3相关图像及图像说明 ……4 4.对流-扩散方程源项识别反问题 4.1对流-扩散方程.... 4.2狄拉克函数....· ..6 4.3反问题的解决思路.....·… ‘、、 4.4个人在研读过程遇到的相关问题..7 5.总结... 6.致谢. 第1页
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院 F1405101 班 孙密广 学号：5140519014 第 1 页 对流-扩散方程源项识别反问题的 MCMC 方法论文研读 材料科学与工程学院 F1405101 班 孙密广 学号：5140519014 目录 1.摘要................................................2 2.MCMC 方法基本介绍....................................2 3.用 Metropolis 算法对密度函数进行抽样.................2 3.1 伽马分布及问题.................................3 3.2 matlab 程序....................................3 3.3 相关图像及图像说明.............................4 4.对流-扩散方程源项识别反问题.........................6 4.1 对流-扩散方程....................................6 4.2 狄拉克函数.......................................6 4.3 反问题的解决思路.................................7 4.4 个人在研读过程遇到的相关问题.....................7 5.总结................................................8 6.致谢................................................8
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院F1405101班孙密广学号：5140519014 1.摘要 首先阐述Metropolis算法实现的具体步骤和基本原理，然后证明由此产生的 Markov链满足细致平衡条件，从而以目标分布为不变分布。首先从MCMC进 行密度函数抽样的例子入手，以说明这种算法的高效性和可行性。最后引入实际 中所遇到的对流-扩散方程源项识别反问题，并介绍将其问题建模后转化成可用 MCMC解决问题的过程。展示MCMC方法在一些难以进行实际运算的数学问题 中巨大用处。初步了解数学建模的过程。 关键词：Metropolis算法，MCMC,密度函数抽样，对流-扩散方程源项识别反问题 2.MCMC方法基本介绍 蒙特·卡罗方法，也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机 数)来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在 金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空 气动力学计算)等领域应用广泛。 Metropolis算法是蒙特卡洛方法中最著名的算法，它的应用疆域包括统计物 理、QCD、天体物理、物理化学、数学、计算生物等等，甚至是社会科学。 其基本思想是构造一个遍历的马尔科夫链（状态的转移仅仅依赖当前的状 态，而与以前的状态无关，其基本性质是存在一个不变分布，使得其不变分布成 为人们所需要的抽样分布。 3.用Metropolis算法对密度函数进行抽样 基于上面对于MCMC算法的介绍，运用Metropolis算法从密度函数 fx)=cxe,(0≤x<o)取样，×的领域取为[x-d,x+d],存在6>0，从任一点开 始检验分布，相关性及特征量。 第2页
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院 F1405101 班 孙密广 学号：5140519014 第 2 页 1.摘要 首先阐述 Metropolis 算法实现的具体步骤和基本原理，然后证明由此产生的 Markov 链满足细致平衡条件，从而以目标分布为不变分布。首先从 MCMC 进 行密度函数抽样的例子入手，以说明这种算法的高效性和可行性。最后引入实际 中所遇到的对流-扩散方程源项识别反问题，并介绍将其问题建模后转化成可用 MCMC 解决问题的过程。展示 MCMC 方法在一些难以进行实际运算的数学问题 中巨大用处。初步了解数学建模的过程。 关键词：Metropolis 算法，MCMC,密度函数抽样,对流-扩散方程源项识别反问题 2.MCMC 方法基本介绍 蒙特·卡罗方法，也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机 数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在 金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空 气动力学计算）等领域应用广泛。 Metropolis 算法是蒙特卡洛方法中最著名的算法，它的应用疆域包括统计物 理、QCD、天体物理、物理化学、数学、计算生物等等，甚至是社会科学。 其基本思想是构造一个遍历的马尔科夫链（状态的转移仅仅依赖当前的状 态，而与以前的状态无关，其基本性质是存在一个不变分布，使得其不变分布成 为人们所需要的抽样分布。 3.用 Metropolis 算法对密度函数进行抽样 基于上面对于 MCMC 算法的介绍，运用 Metropolis 算法从密度函数 f(x)= x cx e 2 ,( 0 x＜ ）取样，x 的领域取为[x , x ] ,存在 >0，从任一点开 始检验分布，相关性及特征量
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院F1405101班孙密广学号：5140519014 3.1伽马分布 伽玛分布是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数a称为形状参数， B称为尺度参数。其概率密度函数如下所示。 1 Ga(x)= xa-le音，x> BT(a 伽玛分布期望是af,方差是4邛2 因此原题中即为满足=3，B=1的伽马分布 3.2 MATLAB程序 =input('从输入的x开始取样x∈[0，+∞)')； f=inline('0.5*x*x*ep(-x)');号未来的版本会删除incline,请使用anonymous functions d=zeros(1,40000); tic fori=1:40000 y=unifrnd(x-0.01,x+0.01):号可在此改变6的大小 if y<0 y=xi end h=min(1,f(y)/f(x);号满足对称化条件的简化 U=rand; if U<h x=yi end d(i)=x; end a=0:0.08:20; hist(d(20001:40000),a)号从后面的20000取样，取点前面“暖场”过程 toc号与前面的tic联合起来测算运行时间 第3页
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院 F1405101 班 孙密广 学号：5140519014 第 3 页 3.1 伽马分布 伽玛分布是统计学的一种连续概率函数。Gamma 分布中的参数α称为形状参数， β称为尺度参数。其概率密度函数如下所示。 伽玛分布期望是 ，方差是 因此原题中即为满足 3, 1的伽马分布 3.2 MATLAB 程序 x=input('从输入的 x 开始取样 x∈[0,+∞）'); f=inline('0.5*x*x*exp(-x)');%未来的版本会删除 incline，请使用 anonymous functions d=zeros(1,40000); tic for i=1:40000 y=unifrnd(x-0.01,x+0.01);%可在此改变δ的大小 if y<0 y=x; end h=min(1,f(y)/f(x));%满足对称化条件的简化 U=rand; if U<h x=y; end d(i)=x; end a=0:0.08:20; hist(d(20001:40000),a)%从后面的 20000 取样，取点前面“暖场”过程 toc %与前面的 tic 联合起来测算运行时间
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院F1405101班孙密广学号：5140519014 3.3相关图像及图像说明 由题意可得X~Ga(3,1)Γ(3)=2！=2，可得c=0.5 取X=10,E(X)=3,DX)=3 6=1, 6=0.5, 6=0.25 00 15 20 取X=2,E(X)=3,D(X)=3 6=1 6=0.5 6=0.25 500 40 第4页
随机模拟方法及应用 材料科学与工程学院 F1405101 班 孙密广 学号：5140519014 第 4 页 3.3 相关图像及图像说明 由题意可得 X~Ga(3,1)Γ（3）=2！=2，可得 c=0.5 取 X=10,E(X)=3,D(X)=3 δ=1, δ=0.5, δ=0.25 取 X=2,E(X)=3,D(X)=3 δ=1 δ=0.5 δ=0.25