2π，即 sin(z十2r)=sitz,cos(z+2r)三Cosz. (1.2.11) 大家知道，在实数领域中，|sinx|≤1，cosx|≤1.把定义(1.2.5) 和(1.2.6)按照(1.2.4)展开为实部和虚部，就求得棋 |sinz=2V(ew+e)+2(sin2x-cas五，(1.2.12) lcoszi (12.13) 这样，sinz和cosz完全可以大于1. 由定义(1.2.4)，(1.2.7)和(1.2.8)不难看出，e,shz和chz 具有纯虚数周期2π，即 e'm=e*,sh(z十2xi)=shz,ch(之十2i)=chz. (1.2.14) 辐角Agz不能唯一地确定，它可以加减2π的整倍数.因此， 按照定义(1.2.9)，对于给定的x,对数函数lnz=lne+iArg z有 无限多个值. 在实数领域中，负数的对数没有意义.但是，按照(1.2.9)，当 x为负实数时，复变函数1nz仍有意义，即 Inz=In(eixd iz)=Ini(2n+1)x 把复变函数f(z)的实部和嘘部分别记作u(x,y)和v(x,y), f(z)=u(x,y)+iv(x,y). (1.2.15) 这是说，复变函数可以归结为一对二元实变函数.因此，实变函数 论的许多定义、公式、定理都可以直接地移植到复变函数论中， 例如，复变函数f(2)在点x。=x。+iyo连续的定义是 当x+xo时，f(z)→f(xo）. (1.2.16) 这可以归结为一对二元实变函数u(x,y)和(x,y)在点(xo,y)连 续，即 当 u(x,y)*u(xoy）, 时，u(x,y）u(w) 。8
.发“4 习 题 1.试验证(1.2.11)~(1.2.14)几个式子. 2.计算下列数值.(a和五为实常数，x为实变数) (1)sin (aib), (2)cos(a+ib), (3)in(-1), (4)ch2z-shz, (5)cosiz, (6)sinix, (7)chix. (8)shix, (9)leiar-isoinr. 3.求解方程sinz=2. §1.3 导 数 设函数w一f(z)是在区域B上定义的单值函数，即对于B上 的每一个之值，有且只有一个w值与之相对应.若在B上的某点 之，极限 iim As-lim lim △U f(z十△x)一f(z) Az 存在，并且与△x→0的方式无关，则称函数w=f(x)在之点可导 (或单演)，此（有限的）极限叫作函数f(之)在z点的导数（或微 商)，以f(x)或df/dz表示. 复变函数的导数定义，在形式上跟实变函数的导数定义一样， 因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可应用于复变函 数，例如 品mi士w:)- 士昭 da 2=nz-l, d d dz (ww:) dw dw: dz w2十w1dz’ dze'=e", d dz wz w吃 desinz-cosz, dw =1 d dz dw dzcosz=-sinz, 是F(w)= dF dw - ·9
必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一 样，实质上却有很大的不同.这是因为实变数△x只能沿着实轴逼 近零，复变数△2却可以沿复数平面上的任一曲线逼近零.因此， 跟实变函数的可导相比，复变函数的可导是一种严格得多的要求. 现在让我们比较△z沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚 轴方向逼近零的两种情形 先看△z沿平行于实轴方向逼近零的情形.这时△y西0，而△z =△x+0,于是 lim u(x十Ax,y)+iw(x十Ax,y)一u(z,y)-iw(x,y) Az+0 Ax -=lim 1(x+△x,》-u(x,y2+i(x+△xy2=u(x,2) Ar-e0 Ax 器+i (1.3.1) ax 再看△x沿平行于虚轴方向逼近零的情形.这时△x=0,而 △之=i△y0,于是 lim 4(x,y十△y)+iw(x,y+△y)一(x,y)-io(x,y) 1y+0 iAy =lim (xy十△y)-v(xy)_;u(x,y+y)-(xy2 &w0 △y △y (1.3.2) ey ay 如果函数f(z)在点之可导，(1.3.1)和(1.3.2)两个极限必须都存 在而且彼此相等，即 ax ay 这个等式两边的实部和虚部必须分别相等，即 =郎 ax ey (1.3.3) = av ax ay 这两个方程叫作柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件（简称C-R条 件)，是复变函数可导的必要条件 ·10
例如处处连续的函数w=Rz=x的实部和避部分别是(x,y)=x, (x,y》=0.于是 器-1，=0,0-0，=0 在任一点都存在，但在任一点都不满足柯西-黎曼方程，所以处处连续的函数 w一Rez是处处不可导的.事实上，当△=△x+0时，-会名-1+1，雨当 △业=i4y0时，贺8,0一0.两个极限并不相等. 柯西-黎曼方程只保证△z沿实轴逼近零和沿虚轴逼近零时， △f/Az逼近同一极限，并不保证△z沿任意曲线通近零时，△f/△z 总是逼近同一极限.因此，柯西-黎曼方程不是复变函数可导的充 分条件. 例如复变函数f(之)=√Rez·mz,在第一、三象限，它的实部和虚部分 别是u(x,y)=√y,v(x,y)=0,而在第二、四象限，(x,y)=G, =√|xy}.因而，在点z=0, 器-m 4(△x,0)一4(0, x 2-n是-0， a 0 y=1im(0,△y》一002=lim.A=0, Ay =lim v(△z,0）一c0,02=im。Ax0 0 8z △x =,y%y0,0=m&y △y 这显然满足柯西-黎曼方程、 那么，复变函数f(z)=√Rez·Imz在点2二0是否可导呢7试令Ax的 辐角保持一定，而棋△*0，即△之=ePAp*0,则在第一、三象限，凸f1△之的 极限是 lim((=lim √（△p)cosg△p)sin里vcosgsing △之 △yp+0 eirAp 类似地，在第二、四象限，△f/△z的极限是i√|cosging/e中.可见，极限值随 P的不同而不同，从而，f(x)在点x=0不可导. 如果△z沿实轴或虚轴逼近零，即P=0或π/2，在这两种情形下，△f/△z 的极限相等（都是窖），从而满足柯西-黎曼方程.可见，柯西-黎曼方程不是复 。11*
变函数可导的充分条件. 现在证明，函数f(z)可导的充分必要条件是：函数（之）的偏 导数0肥存在，且连续，并且满足柯西黎曼方程 证由于这些偏导数连续，二元函数u和v的增量可分别写 为 △w≈34 x十△y十1Ax十eaAy, av △w=0Ax-+D△y十e△x十e△y, 日x ay 其中各个e值随Az→0（即△x,△y各自趋于零）而趋于零.于是有 f-im。 △u+i△v lim +0△A+0 △r十 Ayy =lim △z Az-+0 最后一步已考虑到|△x/△2|和|△y/△z!为有限值，从而所有含e 的项都随△x→0而趋于零.根据柯西-黎曼条件，上式即 (△c十iy)十i即(Ax十i达y) lim =+i AxtiAy er 8 这一极限是与△z→0的方式无关的有限值.证毕. 我们说过，复变函数的可导比实变函数的可导是严格得多的 要求.其具体表现之一就是函数的实部和虚邮通过柯西黎曼方程 而联系起来， 复变函数的导数可用(1.3.1)或(1.3.2)表示. 在极坐标系中，比较△z沿径向通近零（即△之=e△0→0）和沿 横向逼近零（即△z=p△(e)=ie△p0)两种情况下△f/Az的极 限，就得到极坐标系中的柯西-黎曼方程 {au=1 ap o ap (1.3.4) 30 109 ap ·12·