远移动，A'总是相应地沿着某种曲线逼近于N.因此，可以把平面 土的无限远看作一点，即通过测地投影而跟复数球上北极N相应 的那一点.我们把无限远点记作∞，它的模为无限大，它的辐角则 没有明确意义. 图1-2 (三)复数的运算 现在再来说说复数的运算. 复数1一x十y1与2=x2十iy?的和1十名2的定义是 之1+z2m(x1十x2)十i(y1十y2). (1.1.6) 由此明显可见加法的文换律和结合律成立，从对应的矢量来 看，两个复数的和对应于两个矢量的合矢量，从而可以知道 1z:+x2l≤|z1+|z2. (1.1.7) 复数x1一x,十iy1与之2=x2十iy2的差z1一x2被定义为x1与 一？=一x2一iy2的和，即 z1一z2=(x1-xz)十i(y1-y2). (1.1.8) 从而可以知道 |之1-z2|≥lz1|一zz1. (1.1.9) 复数之1=x1十iy1与x2=x2十iy:的积z1z2的定义是 z12=(xx2-y12）十i(x1y2十z2h). (1.1.10) 从这个定义出发，很容易验证，乘法的交换律、结合律与分配律都 成立.这样，定义(1.1.10)可以理解为 =(x-i)(x:Hiy2)=xx2iyx:+ix1y2+iyya =(xx2-y1y2)+i(x1次十x2y1). ·3
复数：=十iy1与2=x2十iy2的商/zz的定义是 4=2十业十j2兴 (1.1.11) 之2x2十y吃 x经十y? 从这个定义出发，很容易验证，除法确是乘法的逆运算 定义(1.1.1])可以理解为 之1=x1十iy_（x1+iy)(x2-iy) z2 x:tiy2 (x:+iy:)(x2-iy:) =工1x十y:+i2x兴 r十y x+y吃 复数的乘、除、乘方和开方等运算，采用三角式或指数式往往 比代数式来得方便.例如，乘积的定义(1.1.10)就化为 之1z2=p1Pz[cos(9+)+isin(g十)] (1.1.12) =P1zei9+段3. (1.1.13) 商的定义(1.1.11)就化为 名=A[cos(h-a)+isin(g-%)门 (1.1.14) Z2 P2 =ei%-). (1.1.15) PL 这样，n(整数)次幂z”应是 z"=p"(cosngtisinng) (1.1.6) =p^e甲， (1.1.17) 而n(整数)次根式z则应是 z=pos是+isin号} (1.1.18) n」 Vpet. (1.1.19) 我们知道，复数x的辐角P不能唯一地确定，它可以加减2π的整 倍数.这样，根式之的辐角g/n也就可以加减2r/n的整倍数，从 而对于给定的x,2可以取个不同的值. 注意区别{之与z2.|z2是复数z的模P的平方，由 (1.1.12)和(1.1.13)可知z*=x2,z2则是复数z的自乘，即 2之=x2. ·4·
以上是关于复数与复数运算的复习 既然复数可以用实部和虚部表出，复数的研究往往就归结为 一对实数（即该复数的实部和虚部）的研究. 例如，复变数之=x十iy逼近复常数xo=x十iyo即 之*之0 的问题，完全可以归结为-一对实变数x和y分别逼近实常数x。和 yo,即 x→x0乡 yyo 的问题.这样，关于实变数的和、差、积、商的极限的定理，关于实变 数的极限是否存在的判据，显然全都适用于复变数，不必一一细说. 习 题 1.下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ (1)z|≤2， (2)|2一a|=lz-b|(a,b为复常数)， 3Re>号， (4)|z+Rez1, (5)a<argz<B,a<Rez<b(a,B,a和b为实常数)， 60<ag<, (8)Re(1/x)=2, (9)Re之2-a2(a是实背数)， (10)川z1+x22+|z1-z212=2x1|2+2z2|2 2.把下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来 (1)is (2)-1, (3)1+i√3， (4)1一cosg+i sing(a是实常数)， (5)z3, (6)e1+, (7)(1-i)/(1+i). 3.计算下列数值.(a,b和p为实常数) (1)a+ib, 2)i, (3), (4)Wi, (5)cos5, (6)sin5, ·5·
(7)coso+cos2o+cos3+.-.+cosnp, (8)sing+sin2g+sin3.+sinng §1.2复变函数 (一)复变密数的定义 若在复数平面（或球面）上存在一个点集E(复数的集合)，对 于E的每一点（每一个z值），按照一定的规律，有一个或多个复 数值w与之相对应，则称w为z的函数-一复变函数.之称为w 的宗量，定义域为E,记作 w=f(z), zEE 在复变函数论中，着重研究的是解析函数（§1.4）. (二)区域的摄念 在解析函数论中，函数的定义域不是一般的点集，而是满足一 定条件的点集，称为区域，用B来表示 为了说明区域的概念，首先介绍邻域、内点、外点以及境界点 邻域以复数。为圆心，以任意小正实数e为半径作一圆， 则圆内所有点的集合称为。的邻域. 内点若z。及其邻域均属于点集E,则称xo为该点集的内 点 外点若。及其邻域均不属于点集E,则称z。为该点集的外 点 境界点若在2的每个邻域内，既有属于E的点，也有不属 于E的点，则称x。为该点集的境界点，它既不是E的内点，也不 是E的外点.境界点的全体称为境界线. 现在介绍区域的概念.直观说来，区域就是宗量之在复数平面 上的取值范围.严格地说，区域是指满足下列两个条件的点集： (1)全由内点组成： (2)具有连适性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接 ·6
起来，且折线上的点全都属于该点集 闭区域区域B及其境界线所组成的点集称为闭区域，以B 表示. 区域可以是各种各样的，例如圆形域及环形域.圆形域可以用 不等式|之一之。|<r来表示，式中之。为圆心，r为半径：环形域可以 用a<之一|<b来表示，。为环心，a为内半径，b为外半径，若 将其中的“<”换成“≤”，则这两个式子分别表示闭圆域和闭环域 (三)复变函数例 这里举几个复变函数的例子， 多项式 ao十a1之十a2z2十…十an2”(n为正整数)， (1.2.1) 有理分式 a0十a2十a之2十十an之" b。十b1之十b2之2十…十bnm2 (m和n为正整数)，(1.2.2) 根式 z-a, (1.2.3) 式中a0,a1,a2,…,an,b,b1,b2,…,bma是复常数.下面列举几个初 等函数的定义式： e*=e+i=eel=e(cosy+i siny), (1.2.4) sinz 2i(e-e), (1.2.5) c08x= 马(e*+e“, (1.2.6) she-e, (1.2.7) chz=合e十e), (1.2.8) Inz=In(lzle ATEE)=Inll+i Argz, (1.2.9) 之=ent(s为复数). (1.2.10) 由定义(1.2.5)和(1.2.6)不难看出，sinz和cosz具有实周期 ·7