§5.2傅里叶积分与傅里叶变换……… (93) §5.38函数……………………(104) 第六章拉普拉斯变换 (114) 矿6.】符号法…………………… (114) §6,2拉普拉斯变换…… (115) $6.3拉普拉斯变换的反演… (122) §6.4吃用例……… (128) 第二篇数学物理方程 第七章数学物理定解问题 ……(133) §。1数学物理方程的导出…… (135) §7.2定解条件…… (153) 苓7,3数学物理方程的分类………… (161) 苓7.4达朗贝尔公式定解问题…… (170) 第八章分离变数（傅里叶级数）法…… (180) §8.1齐次方程的分离变数法…………… (180) S8、2非齐次振动方程和输运方程…… (203) S8.3非齐次边界条件的处理……… (216) §8,4泊松方程……… (219) §8.5小结……… (223) 第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题… (226) S9.1特殊函数常徽分方程…………… (226) §9.2常点邻域上的级数解法 (237) §9、3正则奇点邻域上的级数解法………… (243) S9.4塘图姆-刘维尔本征值问题… (261) 第十章球函数… (273) §10.1轴对称球函数 (273) S10.2连带勒让德函数…… (297) S10.3一般的球函数… (308) 第十一章柱函数…… (325) §11.1二三类柱函数………(325) 、2
爷11.2贝塞尔方程………………… ……………(328) 11.3柱函数的渐近公式………………(347) §11.4虚宗量贝塞尔方程………………………(355) 11.5球贝塞尔方程 ……… ……(362) 并§11.6可化为贝塞尔方程的方程………………………(372) 第十二章格林函数解的积分公式………(374) §12.1泊松方程的格林函数法……………………(374) §12.2用电像法求格林函数……………………………… (381) §12.3含时间的格林函数…………………… (388) 12.4用冲量定理法求格林函数…………………(391) 12.5推广的格林公式及其应用 (397) 第十三章积分变换法 (406) 13.1傅里叶变换法 (406) §13.2拉普拉斯变换法 (418) 第十四章保角变换法 (423) 14.1保角变换的基本性质 +++ (423) 14.2某些常用的保角变换 (426) 第十五章近似方法简介…………………………(459) 15.1作为近似方法的变分法 ………………(459) 515.2模拟法 (462) 15.3有限差分法 + ………………(462) 附录……… ……(468) 一、傅里叶变换函数表 *………(468) 二、拉普拉斯变换函数表……………………………………(471) 三、高斯函数和误差函数…………………………………(474) 四、勒让德方程的级数解(9.2.7)和(9.2.8)在x=士1发散……(475) 五、连带勒让德函数…… …4…(476) 六、贝塞尔函数表………………… …………(477) 七、诺伊曼函数……………………… …………………(480) 八、虚宗量贝塞尔函数虚宗量汉克尔函数………………(483) 九、球贝塞尔函数 ……………………(484) ·3·
十、埃尔米特多项式…………… (487) 十、拉盖尔多项式……… (490) 十、方程x十件gx=0的前六个根……… (491) 十、厂函数（第二类欧拉积分） (492) 习题答案… (499) 人名对照表… (529) ·4·
第一篇 复变函数论 第一章复变函数 §1.1复数与复数运算 (一)复数的基本概念 一个复数x总可以表为某个实数x与某个纯虚数y的和， z=x十iy, (1.1.1) 这叫作复数的代数式，x和y则分别叫作该复数的实部和虚部，并 分别记作Rex和Imz.: 如果把x和y当作平面上的 点的坐标（图1-1），复数之就跟平 面上的点一一对应起来，这个平面 叫作复数平面，两个坐标轴分别叫 作实轴和虚轴 如果把x和y当作矢量的直 角坐标分量（图1-1），复数之还可 以用复数平面上的矢量来表示， 图1-1 改用极坐标P和（图1-1）代替直角坐标x和y, 1
p=vr+y, x=pcosp, (1.1.2) p=arc tg(y/x); y=psing. 则复数之可表为三角式或指数式，即 2=o(cosp十ising), (1.1.3) 或 z=peP. (1.1.4) p叫作该复数的模，记作1z.叫作该复数的辐角，记作 Ar宫之 一个复数的辐角值不能唯一地确定，可以取无穷多个值，并且 彼此相差2π的整数倍.通常约定，以argz表示其中满足条件 0≤Argz2π 的一个特定值，并称arg之为Arg之的主值，或之的主福角.于是有 p=Argz=argz十2kx.(k=0,士1，士2，…) 复数“零”（即实部x和虚部y都等于零的复数）的辐角没有 明确意义 一个复数z的共轭复数之·，指的是对应的点对实轴的反映， 即 z'=x-iy=p(coso-ising)=pe-i. (1.1.5) (二)无限远点 前面我们将模为有限的复数跟复数平面上的有限远点一一对 应起来，在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复数平 面上的一点相对应，并且称这一点为无限远点.关于无限远点，可 作如下理解.把一个球放在复数平面上，球以南极S跟复数平面 相切于原点，如图12所示.在复数平面上任取一点A,它与球的 北极N的联线跟球面相交于A',这样，复数平面上的有限远点跟 球面上N以外的点一一对应了起来.这种对应关系叫作测地投 老，这个球叫作复数球，设想A点沿着一根通过原点的直线向无 限远移动，对应的点A'就沿着一根子午线（经线）向北极N逼近. 如果A沿着另一根通过原点的直线向无限远移动，则A'沿着另一 根子午线向北极N逼近.其实，不管A沿着什么样的曲线向无限 。2