3、提示:连结ED 4、(1)51米:(2)若要水渠造价最低,则水渠应与AB垂直,造价2427 5、(1)2:(2)k=4或3,当k=4时,面积为12 5角平分线、垂直平分线 知识考点: 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理,并能解决一些实际问题 精典例题 【例题】如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠B=30,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交BC于点F,求证: 分析一:要证明CF=2BF,由于BF与CF没有直接联系,联想题设中EF是中垂线,根据其性质可连结AF,则 BF=AF。问题转化为证CF=2AF,又∠B=∠C=30°,这就等价于要证∠CAF=90,则根据含30角的直角三角形的 性质可得CF=2AF=2BF 分析二:要证明CF=2BF,联想∠B=300,EF是AB的中垂线,可过点A作AG∥EF交FC于G后,得到含30 角的Rt△ABG,且EF是Rt△ABG的中位线,因此BG=2BF=2AG,再设法证明AG=GC,即有BF=FG=GC G 例题图1 例题图2 分析三:由等腰三角形联想到“三线合一”的性质,作AD⊥BC于D,则BD=CD,考虑到∠B=30,不妨设 EF=1,再用勾股定理计算便可得证 以上三种分析的证明略 例题图3 问题图 探索与创新: 【问题】请阅读下面材料,并回答所提出的问题 三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图 BD AB △ABC中,AD是角平分线。求证: BD AB 分析:要证 DC"AC,一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似,现在B、D、 C在同一条直线上,△ABD与△ADC不相似,需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 BD AB 恰好是BD、DC、AB的第四比例项,所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E,从而得到BD、CD、AB的第四比 例项AE,这样,证明BDAB 就可以转化为证AE=AC DC AC 证明:过C作CE∥AD交BA的延长线于E
11 3、提示：连结 ED 4、（1）51 米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与 AB 垂直，造价 2427 元。 5、（1）2；（2） k ＝4 或 3，当 k ＝4 时，面积为 12。 5.角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【例题】如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝300，AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，求证： CF＝2BF。 分析一：要证明 CF＝2BF，由于 BF 与 CF 没有直接联系，联想题设中 EF 是中垂线，根据其性质可连结 AF，则 BF＝AF。问题转化为证 CF＝2AF，又∠B＝∠C＝300，这就等价于要证∠CAF＝900，则根据含 300 角的直角三角形的 性质可得 CF＝2AF＝2BF。 分析二：要证明 CF＝2BF，联想∠B＝300，EF 是 AB 的中垂线，可过点 A 作 AG∥EF 交 FC 于 G 后，得到含 300 角的 Rt△ABG，且 EF 是 Rt△ABG 的中位线，因此 BG＝2BF＝2AG，再设法证明 AG＝GC，即有 BF＝FG＝GC。 例题图 1 F E B C A 例题图 2 F G E B C A 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作 AD⊥BC 于 D，则 BD＝CD，考虑到∠B＝300，不妨设 EF＝1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 例题图 3 F D E B C A 问题图 3 2 1 E B D C A 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图， △ABC 中，AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD = 。 分析：要证 AC AB DC BD = ，一般只要证 BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在三角形相似，现在 B、D、 C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 AC AB DC BD = 中，AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，所以考虑过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E，从而得到 BD、CD、AB 的第四比 例项 AE，这样，证明 AC AB DC BD = 就可以转化为证 AE＝AC。 证明：过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E
∠1=∠2 CE∥AD→{∠2=∠3}→∠E=∠3→AE=AC ∠E BD AB CE∥AD二 DC AE BD AB (1)上述证明过程中,用了哪些定理(写出两个定理即可) (2)在上述分析、证明过程中,主要用到了三种数学思想的哪一种?选出一个填入后面的括号内 ①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案:②转化思想 (3)用三角形内角平分线性质定理解答问题:已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线,AB=5cm,AC=4cm, BC=7cm,求BD的长。 答案:=cm 9 评注:本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力 跟踪训练 填空题: 1、如图,∠A=520,O是AB、AC的垂直平分线的交点,那么∠OCB= 2、如图,已知AB=AC,∠A=440,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC= B E C 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3、如图,在△ABC中,∠C=900,∠B=150,AB的中垂线DE交BC于D点,E为垂足,若BD=8,则AC 4、如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分线,△BCE的周长为24,BC=10,则AB 5、如图,EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线,交点是G,BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线,交 点是P,F、C在AN上,B、E在AM上,若∠G=680,那么∠P 填空第5题图 选择第1题图 选择第2题图 、选择题 1、如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于点F,且∠A=600,则∠BFC等于() A、800 B、1000 D、140 2、如图,△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4,若∠D=36,则∠C的度数为() 、720 C、620
12 CE∥AD = = = 1 E 2 3 1 2 ∠E＝∠3 AE＝AC CE∥AD AE AB DC BD = ∴ AC AB DC BD = （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）； （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ） ①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想 （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知 AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm， BC＝7 cm，求 BD 的长。 答案： 9 35 cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。 跟踪训练： 一、填空题： 1、如图，∠A＝520，O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝ 。 2、如图，已知 AB＝AC，∠A＝440，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则∠DBC＝ 。 第 1 题图 O B C A 第 2 题图 N M D B C A 第 3 题图 E D C B A 第 4 题图 E A B C D 3、如图，在△ABC 中，∠C＝900，∠B＝150，AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D 点，E 为垂足，若 BD＝8，则 AC＝ 。 4、如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE 是 AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为 24，BC＝10，则 AB＝ 。 5、如图，EG、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是 G，BP、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交 点是 P，F、C 在 AN 上，B、E 在 AM 上，若∠G＝680，那么∠P＝ 。 填空第 5 题图 G P B E M N C F A 选择第 1 题图 F E D B C A 选择第 2 题图 4 3 2 1 D C A B 二、选择题： 1、如图，△ABC 的角平分线 CD、BE 相交于点 F，且∠A＝600，则∠BFC 等于（ ） A、800 B、1000 C、1200 D、1400 2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝360，则∠C 的度数为（ ） A、820 B、720 C、620 D、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边,而这三角形另一边上的中线分周长为2:3两部分,若这个三 角形的周长为30cm,则此三角形三边长分别是() A、8cm、8 cm B、12cm、12cm、6cm C、8cm、8cm、14cm或12cm、12cm、6cmD、以上答案都不对 如图,Rt△ABC中,∠C=900,CD是AB边上的高,CE 是中线,CF是∠ACB的平分 线,图中相等的锐角为一组,则共有() A、0组 B、2组 C、3组 D、4组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么 选择第4题图这个三角形是() 锐角三角形B、直角三角形 C、钝角 角形D、不能确定 、解答题: 1、如图,Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D,求证:MA=MD。 第1题图 第2题图 第3题图 2、在△ABC中,AB≠AC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC,求证:AE平分 ∠BAC。 3、如图,在△ABC中,∠B=2250,∠C=60°,AB的垂直平分线交BC于点D,BD=6√2,AE⊥BC于点E 求EC的长。 4、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD,垂足为E,BF∥AC交CE的延长线 于点F,求证AB垂直平分DF。 第4题图 参考答案 、填空题 1、380;2、240;3、4;4、14;5、680 选择题: CBCDB 三、解答题: 1、过A作AN⊥BC于N,证∠D=∠DAM 2、延长FE到G,使EG=E,连结CG,证△DEF≌△CEG 3、连结AD,DF为AB的垂直平分线,AD=BD=6√2,∠B=∠DAB=2.5
13 3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为 2∶3 两部分，若这个三 角形的周长为 30cm，则此三角形三边长分别是（ ） A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对 4、如图，Rt△ABC 中，∠C＝900，CD 是 AB 边上的高，CE 是中线，CF 是∠ACB 的平分 线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ） A、0 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么 这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角 三角形 D、不能确定 三、解答题： 1、如图，Rt△ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点 D，求证：MA＝MD。 第 1 题图 M D C B A 第 2 题图 E F B D C A 第 3 题图 E F B D C A 2、在△ABC 中，AB≠AC，D、E 在 BC 上，且 DE＝EC，过 D 作 DF∥BA 交 AE 于点 F，DF＝AC，求证：AE 平分 ∠BAC。 3、如图，在△ABC 中，∠B＝22.5 0，∠C＝600，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，BD＝6 2 ，AE⊥BC 于点 E， 求 EC 的长。 4、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝900，AC＝BC，D 为 BC 的中点，CE⊥AD，垂足为 E，BF∥AC 交 CE 的延长线 于点 F，求证 AB 垂直平分 DF。 第 4 题图 E F D C B A 参考答案 一、填空题： 1、380；2、240；3、4；4、14；5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题： 1、过 A 作 AN⊥BC 于 N，证∠D＝∠DAM； 2、延长 FE 到 G，使 EG＝EF，连结 CG，证△DEF≌△CEG 3、连结 AD，DF 为 AB 的垂直平分线，AD＝BD＝6 2 ，∠B＝∠DAB＝22.5 0 选择第 4 题图 E F D C A B
∴∠ADE=45°,AEV2 .EC- ae 6 4、证△ACD≌△CBF 6平行四边形 知识考点:理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题 【例1】已知如图:在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E、F分别在BC和AD边上,AF=CE,EF和对角 线BD相交于点O,求证:点O是BD的中点。 分析:构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO=Do 略证:连结 在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC 四边形ABCD是平行四边形 AD∥BC,AD=BC ∴FD∥BE,FD=BE 例1图 ∴四边形BEDF是平行四边形 ∴BO=D0,即点O是BD的中点 【例2】已知如图:在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:四边形EFGH 是平行四边形。 分析:欲证四边形EFGH是平行四边形,根据条件需从边上 D着手分析,由E、F、G、 H分别是各边上的中点,可联想到三角形的中位线定理,连结AC 后,EF和GH的关系就 明确了,此题也便得证。(证明略) G 变式1:顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形 变式2:顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形 变式3:顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形 例2图 变式4:顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。 变式5:若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH是正方形。 变式6:在四边形ABCD中,若AB=CD,E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点,求证:EFGH是菱形 娈式6图 娈式7图 变式7:如图:在四边形ABCD中,E为边AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,P、Q、M、N分别 是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:四边形PQMN是菱形 探索与创新 【问题】已知如图,在△ABC中,∠C=900,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM和
14 ∴∠ADE＝450，AE＝ 2 2 AD＝ 6 2 2 2 ＝6 又∵∠C＝600 ∴EC＝ 2 3 3 6 3 = = AE 4、证△ACD≌△CBF 6.平行四边形 知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题： 【例 1】已知如图：在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，点 E、F 分别在 BC 和 AD 边上，AF＝CE，EF 和对角 线 BD 相交于点 O，求证：点 O 是 BD 的中点。 分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明 BO＝DO 略证：连结 BF、DE 在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC，AD＝BC 又∵AF＝CE ∴FD∥BE，FD＝BE ∴四边形 BEDF 是平行四边形 ∴BO＝DO，即点 O 是 BD 的中点。 【例 2】已知如图：在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 边上的中点，求证：四边形 EFGH 是平行四边形。 分析：欲证四边形 EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上 着手分析，由 E、F、G、 H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结 AC 后，EF 和 GH 的关系就 明确了，此题也便得证。（证明略） 变式 1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。 变式 2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。 变式 3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。 变式 4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。 变式 5：若 AC＝BD，AC⊥BD，则四边形 EFGH 是正方形。 变式 6：在四边形 ABCD 中，若 AB＝CD，E、F、G、H 分别为 AD、BC、BD、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。 娈式 6 图 H G F E D B C A 娈式 7 图 N M Q E P D C A B 变式 7：如图：在四边形 ABCD 中，E 为边 AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P、Q、M、N 分别 是 AB、BC、CD、DA 边上的中点，求证：四边形 PQMN 是菱形。 探索与创新： 【问题】已知如图，在△ABC 中，∠C＝900，点 M 在 BC 上，且 BM＝AC，点 N 在 AC 上，且 AN＝MC，AM 和 例 1 图 O F E D B C A 例 2 图 H G F E D B C A
BN相交于P,求∠BPM的度数 分析:条件给出的是线段的等量关系,求的却是角的度数,为此,我们由条件中的直角及相等的线段,可联想 到构造等腰直角三角形,从而应该平移AN。 略证:过M作ME∥AN,且ME=AN,连结NE、BE,则四边形AMEN是平行四边形,得NE=AM,ME∥AN AC⊥BC ME⊥BC 在△BEM和△AMC中, ME=CM,∠EMB=∠MCA=900,BM=AC △BEM≌△AMC ∴BE=AM=NE,∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3=900 2+∠4=900,且BE=NE ∴△BEN是等腰直角三角形 ∠BNE=450 探索与创新图 ∴AM∥NE ∴∠BPM=∠BNE=450 跟踪训练: 填空题: 1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7,则它的一条边长a的取值范围是 2、□ABCD的周长是30,AC、BD相交于点O,△OAB的周长比△oBC的周长大3,则AB= 3、已知□ABCD中,AB=2AD,对角线BD⊥AD,则∠BCD的度数是 4、如图:在□ABCD中,AE⊥BD于E,∠EAD=60,AE=2,AC+BD=16,则△BOC的周长为 c A 第4题图 第5题图 第6、7题图 5、如图:□ABCD的对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且EF⊥BC于F,∠1=30,∠2=45°,D=2√2, 则AC的长为 6、如图:过□ABCD的顶点B作高BE、BF,已知BF=BE,BC=16,∠EBF=30, 7、如图所示,□ABCD的周长为30,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且AE:AF=2:3,∠C=120,则平行 四边形ABCD的面积为 选择题 1、若□ABCD的周长为28,△ABC的周长为17cm,则AC的长为() A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图,□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上,则下列关系中正确的是() A、DE>BF B、DE=BF C、DE<BF D、DE=FE=BF 第2题图 第3题图 第4题图 3、如图,已知M是□ABCD的AB边的中点,CM交BD于E,则图中阴影部分的面积与□ABCD的面积之比是(
15 BN 相交于 P，求∠BPM 的度数。 分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想 到构造等腰直角三角形，从而应该平移 AN。 略证：过 M 作 ME∥AN，且 ME＝AN，连结 NE、BE，则四边形 AMEN 是平行四边形，得 NE＝AM，ME∥AN， AC⊥BC ∴ME⊥BC 在△BEM 和△AMC 中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900 ∴∠2＋∠4＝900，且 BE＝NE ∴△BEN 是等腰直角三角形 ∴∠BNE＝450 ∵AM∥NE ∴∠BPM＝∠BNE ＝450 跟踪训练： 一、填空题： 1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为 5 和 7，则它的一条边长 a 的取值范围是 。 2、□ABCD 的周长是 30，AC、BD 相交于点 O，△OAB 的周长比△OBC 的周长大 3，则 AB＝ 。 3、已知□ABCD 中，AB＝2AD，对角线 BD⊥AD，则∠BCD 的度数是 。 4、如图：在□ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC 的周长为 。 第 4 题图 E O D B C A 第 5 题图 1 2 O F E D B C A 第 6、7 题图 F E D B C A 5、如图：□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，EF 过点 O，且 EF⊥BC 于 F，∠1＝300，∠2＝450，OD＝2 2 ， 则 AC 的长为 。 6、如图：过□ABCD 的顶点 B 作高 BE、BF，已知 BF＝ 4 5 BE，BC＝16，∠EBF＝300，则 AB＝ 。 7、如图所示，□ABCD 的周长为 30，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，且 AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，则平行 四边形 ABCD 的面积为 。 二、选择题： 1、若□ABCD 的周长为 28，△ABC 的周长为 17cm，则 AC 的长为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD 和□EAFC 的顶点 D、E、F、B 在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ） A、DE＞BF B、DE＝BF C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF 第 2 题图 E F D C A B 第 3 题图 M E D C A B 第 4 题图 E D C A B 3、如图，已知 M 是□ABCD 的 AB 边的中点，CM 交 BD 于 E，则图中阴影部分的面积与□ABCD 的面积之比是（ ） 探索与创新图 4 3 2 1 E P N B M C A