B C、 6 4、如图,□ABCD中,BD=CD,∠C=700,AE⊥BD于E,则∠DAE=() A、200 B、250 5、在给定的条件中,能作出平行四边形的是() A、以60cm为对角线,20cm、34cm为两条邻边 B、以20cm、36cm为对角线,22cm为一条边 C、以6cm为一条对角线,3cm、10cm为两条邻边 D、以6cm、10cm为对角线,8cm为一条边 6、如图,□ABCD中,E、F分别是AD、BC边上的中点,直线CE交BA的延长线于G点,直线DF交AB的延长线 于H点,CG、DH交于点O,若□ABCD的面积为4,则S△OB=() A、3.5 C、4.5 只A 第6题图 第7题图 7、在□ABCD中,AB=6,AD=8,∠B是锐角,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E 处,如果AE过BC的中点O,则□ABCD的面积等于() A、48 B、10√6 127 D、24√2 三、解答题: 1、如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥DC于F,∠ADC=600,BE=2,CF=1,连结DE交AF于点P,求 的长 G F C 第1题图 第2题图 4题图 2、在四边形ABCD中,E、F、6、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,且4E=C=CC==k(k> BE BF DG HD 0),阅读下列材料,然后回答下面的问题 如上图,连结BD AE AH FC BE HD BF C ∵.EH∥BD,FG∥BD 连结AC,则EF与GH是否一定平行,答 ②当k值为 时,四边形EFGH是平行四边形 ③在②的情形下,对角线AC和BD只需满足 条件时,EFGH为矩形 ④在②的情形下,对角线AC和BD只需满 条件时,EFGH为菱形
16 A、 6 1 B、 4 1 C、 3 1 D、 12 5 4、如图，□ABCD 中，BD＝CD，∠C＝700，AE⊥BD 于 E，则∠DAE＝（ ） A、200 B、250 C、300 D、350 5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ） A、以 60cm 为对角线，20cm、34cm 为两条邻边 B、以 20cm、36cm 为对角线，22cm 为一条边 C、以 6cm 为一条对角线，3cm、10cm 为两条邻边 D、以 6cm、10cm 为对角线，8cm 为一条边 6、如图，□ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 边上的中点，直线 CE 交 BA 的延长线于 G 点，直线 DF 交 AB 的延长线 于 H 点，CG、DH 交于点 O，若□ABCD 的面积为 4，则 SOGH ＝（ ） A、3.5 B、4 C、4.5 D、5 第 6 题图 G H E F D C A B 第 7 题图 O E D C B A 7、在□ABCD 中，AB＝6，AD＝8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落在△ABC 所在平面内的点 E 处，如果 AE 过 BC 的中点 O，则□ABCD 的面积等于（ ） A、48 B、10 6 C、12 7 D、24 2 三、解答题： 1、如图，在□ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AF⊥DC 于 F，∠ADC＝600，BE＝2，CF＝1，连结 DE 交 AF 于点 P，求 EP 的长。 第 1 题图 P F E D B C A 第 2 题图 H G F E D B C A 第 4 题图 F E D B C A 2、在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，且 BE AE ＝ BF FC ＝ DG GC ＝ HD AH ＝k （ k ＞ 0），阅读下列材料，然后回答下面的问题： 如上图，连结 BD ∵ BE AE ＝ HD AH ， BF FC ＝ DG GC ∴EH∥BD，FG∥BD ①连结 AC，则 EF 与 GH 是否一定平行，答： ； ②当 k 值为 时，四边形 EFGH 是平行四边形； ③在②的情形下，对角线 AC 和 BD 只需满足 条件时，EFGH 为矩形； ④在②的情形下，对角线 AC 和 BD 只需满足 条件时，EFGH 为菱形；
3、已知,在四边形ABCD中,从①AB∥DC:②AB=DC;③AD∥BC:④AD=BC;⑤∠A=∠C;⑥∠B=∠D中 取出两个条件加以组合,能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形?请你具体写出这些组合。 4、如图,在△ABC中,∠ACB=90,D、F分别为AC、AB的中点,点E在BC的延长线上,∠CDE=∠A (1)求证:四边形DECF是平行四边形; (2)若snA=2,四边形EBFD的周长为22,求DE的长 跟踪训练参考答案 填空题: 1、1<a<:2、9:3、60;4、12:5、8:.6,、94或12.8:7、27cm 二、选择题: DBCABCC 三、解答题: 1、提示:由∠B=∠ADC=60,BE=2,AE⊥BC可得AB=4,再证DF=DC-CF=3,∴AD=6,EC=BC-BE 4=DC,又∠BCD=120,∴∠EDC=30,求得∠APE=∠EAP=60,△AEP为等边三角形,EP=AE=2√3。 2、①是:②任意正数:③BD⊥AC:④AC=BD 3、①和②:③和④:⑤和⑥:①和⑤:①和⑥:③和⑤:③和⑥:②和④:①和③ (1)证EC∥DF,ED∥CF;(2)DE=5 7矩形、菱形 知识考点:理解并掌握矩形的判定与性质,并能利用所学知识解决有关问题 精典例题 例1】如图,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE:∠BAE=3:1, 求∠EAC的度数。 分析:本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。 解略,答案45°。 E 例1图 例2图 例3图 【例2】如图,已知菱形ABCD的边长为3,延长AB到点E,使BE=2AB,连结EC并延长交AD的延长线于点 F,求AF的长 分析:本题利用菱形的性质,结合平行线分线段成比例的性质定理,可使问题得解。 解略,答案AF=4.5。 【例3】如图,在矩形ABCD中,M是BC上的一动点,DE⊥AM,垂足为E,3AB=2BC,并且AB、BC的长是 方程x2-(k-2)x+2k=0的两根 (1)求k的值: (2)当点M离开点B多少时,△ADE的面积是△DEM面积的3倍?请说明理由 分析:用韦达定理建立线段AB、AC与一元二次方程系数的关系,求出k。 略解:(1)由韦达定理可得AB+BC=k-2,AB·BC=2k,又由BC=-AB可消去AB,得出一个关于k的
17 3、已知，在四边形 ABCD 中，从①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D 中 取出两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。 4、如图，在△ABC 中，∠ACB＝900，D、F 分别为 AC、AB 的中点，点 E 在 BC 的延长线上，∠CDE＝∠A。 （1）求证：四边形 DECF 是平行四边形； （2）若 5 3 sin A = ，四边形 EBFD 的周长为 22，求 DE 的长。 跟踪训练参考答案 一、填空题： 1、1＜ a ＜6；2、9；3、600；4、12；5、8；6、 5 64 或 12.8；7、27 3 cm2； 二、选择题：DBCABCC 三、解答题： 1、提示：由∠B＝∠ADC＝600，BE＝2，AE⊥BC 可得 AB＝4，再证 DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝ 4＝DC，又∠BCD＝1200，∴∠EDC＝300，求得∠APE＝∠EAP＝600，△AEP 为等边三角形，EP＝AE＝2 3 。 2、①是；②任意正数；③BD⊥AC；④AC＝BD 3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③ 4、（1）证 EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝5 7.矩形、菱形 知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。 精典例题： 【例 1】如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1， 求∠EAC 的度数。 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。 解略，答案 450。 例 1 图 E O D B C A 例 2 图 F E D C A B 例 3 图 E M D B C A 【例 2】如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，延长 AB 到点 E，使 BE＝2AB，连结 EC 并延长交 AD 的延长线于点 F，求 AF 的长。 分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。 解略，答案 AF＝4.5。 【例 3】如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 上的一动点，DE⊥AM，垂足为 E，3AB＝2BC，并且 AB、BC 的长是 方程 ( 2) 2 0 2 x − k − x + k = 的两根。 （1）求 k 的值； （2）当点 M 离开点 B 多少时，△ADE 的面积是△DEM 面积的 3 倍？请说明理由。 分析：用韦达定理建立线段 AB、AC 与一元二次方程系数的关系，求出 k 。 略解：（1）由韦达定理可得 AB＋BC＝k − 2，AB·BC＝2k ，又由 BC＝ 2 3 AB 可消去 AB，得出一个关于 k 的一
元二次方程3k2-37k+12=0,解得k=12,k2=1,因AB+BC=k-2>,:k>2,故k2=1应舍去。 (2)当k=12时,AB+BC=10,AB·BC=2k=24,由于AB<BC,所以AB=4,BC=6,由S△AED=3SDEM 可得AE=3EM=3Mn易证△AED∽D△MBA得4E=AD,设AE=3,AM=4,则MB=2a2,而AB2+BM MB AM AM,故42+4a4=16a2,解得a2=2,MB=2a2=4。即当MB=4时,SAED=3SDEM 评注:本题将几何问题从“形”向“数”转化,这类综合题既有几何证明中的分析和推理,又有代数式的灵活 变换、计算,其解题过程层次较多,步骤较复杂,书写过程也要加强训练 探索与创新: 问题一】如图,四边形ABCD中,AB=√6,BC=5-√3,CD=6,且∠ABC=1350,∠BCD=120,你知道 AD的长吗? 分析:这个四边形是一个不规则四边形,应将它补割为规则四边形才便于求解。 略解:作AE⊥CB的延长线于E,DF⊥BC的延长线于F,再作AG⊥DF于G ∵∠ABC=1350,∴∠ABE=450 ∴△ABE是等腰直角三角形 E 又:AB=√6,∴AE=BE=√3 ∠BCD=1200,∴∠FCD=60 △DCF是含30的直角三角形 问题一图 CD=6, CF=3, DF= 3 EF=√3+(5-√3)+3=8 由作图知四边形AGFE是矩形 AG=EF=8, FG=AE 从而DG=DF-FG=23 问题二图 在△ADG中,∠AGD=90 AD=√AG2+DG2=√64+12=√76=219 【问题二】把矩形ABCD沿BD折叠至如上图所示的情形,请你猜想四边形ABDE是什么图形,并证明你的猜想 分析与结论:本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形,利用对称及全等三角形的有关知识易证。 跟踪训练 、填空题: 1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4,周长为56,则这个矩形的面积为 2、已知菱形的锐角是60°,边长是20cm,则较短的对角线长是cm 3、如图,矩形ABCD中,0是对角线的交点,若AE⊥BD于E,且OE:oD=1:2,AE=√3cm,则DE 4、如图,P是矩形ABCD内一点,PA=3,PD=4,PC=5,则PB 5、如图,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=600,∠BAE=20,则∠CE=
18 元二次方程 3 37 12 0 2 k − k + = ，解得 1 k ＝12， 2 k ＝ 3 1 ，因 AB＋BC＝k − 2 ＞0，∴ k ＞2，故 2 k ＝ 3 1 应舍去。 （2）当 k ＝12 时，AB＋BC＝10，AB·BC＝2k ＝24，由于 AB＜BC，所以 AB＝4，BC＝6，由 SAED = 3SDEM 可得 AE＝3EM＝ 4 3 AM。易证△AED∽△MBA 得 MB AE ＝ AM AD ，设 AE＝3a ，AM＝ 4a ，则 MB＝ 2 2a ，而 AB2＋BM2 ＝AM2，故 2 4 2 4 + 4a = 16a ，解得 2 a ＝2，MB＝ 2 2a ＝4。即当 MB＝4 时， SAED = 3SDEM 。 评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推理，又有代数式的灵活 变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。 探索与创新： 【问题一】如图，四边形 ABCD 中，AB＝ 6 ，BC＝5 − 3 ，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知道 AD 的长吗？ 分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。 略解：作 AE⊥CB 的延长线于 E，DF⊥BC 的延长线于 F，再作 AG⊥DF 于 G ∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450 ∴△ABE 是等腰直角三角形 又∵AB＝ 6 ，∴AE＝BE＝ 3 ∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600 ∴△DCF 是含 300 的直角三角形 ∵CD＝6，CF＝3，DF＝3 3 ∴EF＝ 3 + (5 − 3) + 3＝8 由作图知四边形 AGFE 是矩形 ∴AG＝EF＝8，FG＝AE＝ 3 从而 DG＝DF－FG＝ 2 3 在△ADG 中，∠AGD＝900 ∴AD＝ 2 2 AG + DG ＝ 64 +12 ＝ 76 ＝2 19 【问题二】把矩形 ABCD 沿 BD 折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形 ABDE 是什么图形，并证明你的猜想。 分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。 跟踪训练： 一、填空题： 1、若矩形的对称中心到两边的距离差为 4，周长为 56，则这个矩形的面积为 。 2、已知菱形的锐角是 600，边长是 20cm，则较短的对角线长是 cm。 3、如图，矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若 AE⊥BD 于 E，且 OE∶OD＝1∶2，AE＝ 3 cm，则 DE＝ cm。 4、如图，P 是矩形 ABCD 内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则 PB＝ 。 5、如图，在菱形 ABCD 中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，则∠CEF＝ 。 问题一图 G E F D B C A 问题二图 E D B C A
第3题图 第4题图 第5题图 选择题: 6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H,使EFGH为矩形,则这样的矩形() 仅能作一个 B、可以作四个 C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个 7、如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动,点Q在BC 边上,以每秒4cm的速度从C点出发,在CB间往返运动,二点同时出发,待P点到达D点为止,在这段时间 内,线段PQ有()次平行于AB A、1 C、3 C Q G 第7题图 第8题图 8、如图,已知矩形纸片ABCD中,AD=9cm,AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折 痕EF的长分别是() A、4cm、√10cr B、5cm、√10cm C、4cm、2√3cm D、5cm、2√3cm 9、给出下面四个命题:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有一个角是直角且 对角线互相平分的四边形是矩形:④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有() A、①② B、③④ C、③ D、①②③④ 10、平行四边形四个内角的平分线,如果能围成一个四边形,那么这个四边形一定是() 矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 、解答题 11、如图,在矩形ABCD中,F是BC边上一点,AF的延长线交DC的延长线于点G,DE⊥AG于E,且DE=DC 根据上述条件,请在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论 C E 第11题图 第12题图 第13题图 12、如图,在△ABC中,∠ACB=90,CD是AB边上的高,∠BAC的平分线AE交CD于F,EG⊥AB于G,求证:
19 第 3 题图 E O D B C A 第 4 题图 ? 5 3 4 P D B C A 第 5 题图 F E D C B A 二、选择题： 6、在矩形 ABCD 的各边 AB、BC、CD、DA 上分别取点 E、F、G、H，使 EFGH 为矩形，则这样的矩形（ ） A、仅能作一个 B、可以作四个 C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个 7、如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4cm，AD＝12cm，P 点在 AD 边上以每秒 1 cm 的速度从 A 向 D 运动，点 Q 在 BC 边上，以每秒 4 cm 的速度从 C 点出发，在 CB 间往返运动，二点同时出发，待 P 点到达 D 点为止，在这段时间 内，线段 PQ 有（ ）次平行于 AB。 A、1 B、2 C、3 D、4 • • 第 7 题图 Q P D B C A 第 8 题图 G F E D C B A 8、如图，已知矩形纸片 ABCD 中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长和折 痕 EF 的长分别是（ ） A、4cm、 10 cm B、5cm、 10 cm C、4cm、 2 3 cm D、5cm、2 3 cm 9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且 对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的 4 倍。其中正确的命题有（ ） A、①② B、③④ C、③ D、①②③④ 10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 三、解答题： 11、如图，在矩形 ABCD 中，F 是 BC 边上一点，AF 的延长线交 DC 的延长线于点 G，DE⊥AG 于 E，且 DE＝DC， 根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。 第 11 题图 G F E D C B A 第 12 题图 G F E D B C A 第 13 题图 F E D B C A 12、如图，在△ABC 中，∠ACB＝900，CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的平分线 AE 交 CD 于 F，EG⊥AB 于 G，求证：
四边形GECF是菱形 13、如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF。请回答下 列问题(不要求证明) (1)四边形ADEF是什么四边形? (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形? (3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在? 跟踪训练参考答案 填空题: 提示:4题过点P作矩形任一边的垂线,利用勾股定理求解:5题连结AC,证△ABE≌△ACF得AE=AF,从而 △AEF是等边三角形 二、 DDBBA 三、解答题: 11、可证△DEA≌△ABF 12、略证:AE平分∠BAC,且EG⊥AB,EC⊥AC,故EG=EC,易得∠AEC=∠CEF,∵CF=EC,EG=CF,又因 EG⊥AB,CD⊥AB,故EG∥CF。四边形GECF是平行四边形,又因EG=FG,故GECF是菱形。 13、(1)平行四边形:(2)∠BAC=1500;(3)当∠BAC=600时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。 8正方形 知识考点 理解正方形的性质和判定,并能利用它进行有关的证明和计算。 精典例题 【例1】如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且EF∥AC,在DA的延长线上取一点G,使AG AD,EG与DF相交于点H。求证:AH=AD。 分析:因为A是DG的中点,故在△DGH中,若AH=AD,当且仅当△DGH为直角三角形,所以只须证明△DGH 为直角三角形(证明略)。 评注:正方形除了具备平行四边形的一般性质外,还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使 本题证明简单 例1图 例2图 【例2】如图,在正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD上的点,若∠PAQ=450,求证:PB+DQ=PQ 分析:利用正方形的性质,通过构造全等三角形来证明。 变式:若条件改为PQ=PB+DQ,那么∠PAQ=?你还能得到哪些结论? 探索与创新 【问题一】如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过A作AG⊥EB于G 交BD于点F,则OE=OF,对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线 交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=oF”还成立吗?如果成立,请给出证明:如果不成立,说明 理由
20 四边形 GECF 是菱形。 13、如图，以△ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。请回答下 列问题（不要求证明）： （1）四边形 ADEF 是什么四边形？ （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？ （3）当△ABC 满足什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？ 跟踪训练参考答案 一、填空题： 1、180；2、20cm；3、3；4、3 2 ；5、200 提示：4 题过点 P 作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5 题连结 AC，证△ABE≌△ACF 得 AE＝AF，从而 △AEF 是等边三角形。 二、DDBBA 三、解答题： 11、可证△DEA≌△ABF 12、略证：AE 平分∠BAC，且 EG⊥AB，EC⊥AC，故 EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因 EG⊥AB，CD⊥AB，故 EG∥CF。四边形 GECF 是平行四边形，又因 EG＝FG，故 GECF 是菱形。 13、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝1500；（3）当∠BAC＝600 时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在。 8.正方形 知识考点： 理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。 精典例题： 【例 1】如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 EF∥AC，在 DA 的延长线上取一点 G，使 AG ＝AD，EG 与 DF 相交于点 H。求证：AH＝AD。 分析：因为 A 是 DG 的中点，故在△DGH 中，若 AH＝AD，当且仅当△DGH 为直角三角形，所以只须证明△DGH 为直角三角形（证明略）。 评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使 本题证明简单。 例 1 图 H G F E D B C A 例 2 图 Q E P D B C A 【例 2】如图，在正方形 ABCD 中，P、Q 分别是 BC、CD 上的点，若∠PAQ＝450，求证：PB＋DQ＝PQ。 分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。 变式：若条件改为 PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你还能得到哪些结论？ 探索与创新： 【问题一】如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，过 A 作 AG⊥EB 于 G，AG 交 BD 于点 F，则 OE＝OF，对上述命题，若点 E 在 AC 的延长线上，AG⊥EB，交 EB 的延长线于点 G，AG 的延长线 交 DB 的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明 理由