C 选择第2题图 择第4题图 4、如图,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,设PB=m,PC=n,AB=C,AC b,则(m+n)与(b+c)的大小关系是() A、m+n>b+c B、m+n<b+c C、m+n=b+c D、无法确定 解答题: 1、如图,∠1=∠2,∠3=∠4,EC=AD。求证:△ABE和△BDC是等腰三角形。 解答题第1题图 解答题第2题图 2、如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点 (1)求证:AF⊥CD; (2)在你连结BE后,还能得出什么新结论?请再写出两个。 3、(1)已知,在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=E,∠BAC=∠EDF=10,求证:△ABC≌△DEF (2)上问中,若将条件改为AB=DE,,BC=EF,∠BAC=∠EDF=70,结论是否还成立,为什么 4、如图,已知∠MON的边OM上有两点 边ON上有两点C、D,且AB=CD,P为∠MON的平分线上 (1)△ABP与△PCD是否全等?请说明理由 (2)△ABP与△PCD的面积是否相等?请说明理由 A E 解答题第4题图 解答题第5题图 5、如图,已知CE⊥AB,DF⊥AB,点E、F分别为垂足,且AC∥BD。 (1)根据所给条件,指出△ACE和△BDF具有什么关系?请你对结论予以证明。 (2)若△ACE和△BDF不全等,请你补充一个条件,使得两个三角形全等,并给予证明 参考答案 、填空题: 1、32;2、3;3、15;4、AH=BC或EA=EC或EH=EB等 或OA=OE等;6、①②③ 、选择题:BBDA
6 选择第 2 题图 O F E C B A 选择第 4 题图 P B C D A 4、如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意一点，设 PB＝m ，PC＝n ，AB＝c ，AC ＝b ，则 (m + n) 与 (b + c) 的大小关系是（ ） A、 m + n ＞ b + c B、 m + n ＜ b + c C、 m + n＝b + c D、无法确定 三、解答题： 1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求证：△ABE 和△BDC 是等腰三角形。 解答题第 1 题图 D 4 3 2 1 E C A B 解答题第 2 题图 F D E C B A 2、如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点 F 是 CD 的中点。 （1）求证：AF⊥CD； （2）在你连结 BE 后，还能得出什么新结论？请再写出两个。 3、（1）已知，在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求证：△ABC≌△DEF； （2）上问中，若将条件改为 AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700，结论是否还成立，为什么？ 4、如图，已知∠MON 的边 OM 上有两点 A、B，边 ON 上有两点 C、D，且 AB＝CD，P 为∠MON 的平分线上 一点。问： （1）△ABP 与△PCD 是否全等？请说明理由。 （2）△ABP 与△PCD 的面积是否相等？请说明理由。 解答题第 4 题图 D P N M O C B A 解答题第 5 题图 D E F C B A 5、如图，已知 CE⊥AB，DF⊥AB，点 E、F 分别为垂足，且 AC∥BD。 （1）根据所给条件，指出△ACE 和△BDF 具有什么关系？请你对结论予以证明。 （2）若△ACE 和△BDF 不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。 参考答案 一、填空题： 1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC 或 EA＝EC 或 EH＝EB 等； 5、DC＝DE 或 BC＝BE 或 OA＝OE 等；6、①②③ 二、选择题：BBDA
三、解答题: 2、(1)略;(2)AF⊥BE,AF平分BE等 3、(1)略;(2)不成立,举一反例即能说明 4、(1)不一定全等,因△ABP与△PCD中,只有AB=CD,而其它角和边都有可能不相等,故两三角形不一定 全等。(2)面积相等,因为OP为∠MON平分线上一点,故P到边AB、CD上的距离相等,即△ABP中AB边上的 高与△PCD中CD边上的高相等,又根据AB=CD(即底边也相等)从而△ABP与△PCD的面积相等。 5、(1)△ACE和△BDF的对应角相等:(2)略 4直角三角形、勾股定理、面积 知识考点: 了解直角三角形的判定与性质,理解直角三角形的边角关系,掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有 关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面 精典例题 【例1】如图,在四边形ABCD中,∠A=600,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,则AB=? 分析:通过作辅助线,将四边形问题转化为三角形问题来解决,其关键是对内分割还是向外补形 答案:83 B C E 例2图 【例2】如图,P为△ABC边BC上一点,PC=2PB,已知∠ABC=450,∠APC=600,求∠ACB的度数。 分析:本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数,而应综合运用条件PC=2PB及∠APC=60来构造出含 0角的直角三角形。这是解本题的关键。 答案:∠ACB=750(提示:过C作CQ⊥AP于Q,连结BQ,则AQ=BQ=CQ) 探索与创新: 【问题一】如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30,点A处有一所中学,AP=160米,假设 汽车行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声 的影响?如果受影响,已知汽车的速度为18千米/小时,那么学校受影响的时间为多少秒? 分析:从学校(A点)距离公路(MN)的最近距离(AD=80米)入手,在距A点方圆100米的范围内,利用 图形,根据勾股定理和垂径定理解决它。 略解:作AD⊥MN于D,在Rt△ADP中,易知AD=80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心,100 米为半径作圆交MN于E、F,连结AE、AF,则AE=AF=100,根据勾股定理和垂径定理知:ED=FD=60,EF=120 从而学校受噪声影响的时间为 s120 (小时)=24(秒) 18000150 评注:本题是一道存在性探索题,通过给定的条件,判断所研究的对象是否存在
7 三、解答题： 1、略； 2、（1）略；（2）AF⊥BE，AF 平分 BE 等； 3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明； 4、（1）不一定全等，因△ABP 与△PCD 中，只有 AB＝CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定 全等。（2）面积相等，因为 OP 为∠MON 平分线上一点，故 P 到边 AB、CD 上的距离相等，即△ABP 中 AB 边上的 高与△PCD 中 CD 边上的高相等，又根据 AB＝CD（即底边也相等）从而△ABP 与△PCD 的面积相等。 5、（1）△ACE 和△BDF 的对应角相等；（2）略 4.直角三角形、勾股定理、面积 知识考点： 了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有 关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。 精典例题： 【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则 AB＝？ 分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。 答案： 3 3 8 例 1 图 3 2 E D B C A 例 2 图 Q B P C A 【例 2】如图，P 为△ABC 边 BC 上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB 的度数。 分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，而应综合运用条件 PC＝2PB 及∠APC＝600 来构造出含 300 角的直角三角形。这是解本题的关键。 答案：∠ACB＝750（提示：过 C 作 CQ⊥AP 于 Q，连结 BQ，则 AQ＝BQ＝CQ） 探索与创新： 【问题一】如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且∠QPN＝300，点 A 处有一所中学，AP＝160 米，假设 汽车行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声 的影响？如果受影响，已知汽车的速度为 18 千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：从学校（A 点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80 米）入手，在距 A 点方圆 100 米的范围内，利用 图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。 略解：作 AD⊥MN 于 D，在 Rt△ADP 中，易知 AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以 A 为圆心，100 米为半径作圆交 MN 于 E、F，连结 AE、AF，则 AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120， 从而学校受噪声影响的时间为： 150 1 18000 120 t = = （小时）＝24（秒） 评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在
C 问题一图 问题二图 【问题二】台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏 力.如图12,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中心最大风力为12级 每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东300方向往C移动, 且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响。 (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。 (2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解:(1)如图1,由点A作AD⊥BC,垂足为D。 ∵AB=220,∠B=30°∴AD=110(千米)。 由题意知,当A点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。 (2)由题意知,当A点距台风中心不超过160千米时,将会受到台风的影响。则AE=AF=160。当台风中心 从E处移到F处时,该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得: DE=√AE2-AD2=√1602-103=√270×50=3015。:E=6015(千米)。 ∷该台风中心以15千米/时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为0√5=45(小时)。 (3)当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大,其最大风力为12 l10 =6.5(级) 评注:本题是一道几何应用题,解题时要善于把实际问题抽象成几何图形,并领会图形中的几何元素代表的意 义,由题意可分析出,当A点距台风中心不超过160千米时,会受台风影响,若过A作AD⊥BC于D,设E,F分 别表示A市受台风影响的最初,最后时台风中心的位置,则AE=AF=160:当台风中心位于D处时,A市受台风影 响的风力最大。 跟踪训练 、填空题 1、如果直角三角形的边长分别是6、8、X,则x的取值范围是 2、如图,D为△ABC的边BC上的一点,已知AB=13,AD=12,,BD=5,AC=BC,则BC=
8 问题一图 F E D A Q P N M y x 图 12 C B A 问题二图 【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏 力．如图 12，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米的 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级， 每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米／时的速度沿北偏东 300 方向往 C 移动， 且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解：（1）如图 1，由点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D。 ∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。 由题意知，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。 （2）由题意知，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响。则 AE＝AF＝160。当台风中心 从 E 处移到 F 处 时 ， 该 城 市 都 会 受 到 这 次 台 风 的 影 响 。 由 勾 股 定 理 得 ： 160 110 270 50 30 15 2 2 2 2 DE = AE − AD = − = = 。∴EF＝60 15 （千米）。 ∵该台风中心以 15 千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为 4 15 15 60 15 = （小时）。 （3）当台风中心位于 D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为 12－ 20 110 ＝6.5（级）。 评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意 义，由题意可分析出，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，会受台风影响，若过 A 作 AD⊥BC 于 D，设 E，F 分 别表示 A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则 AE＝AF＝160；当台风中心位于 D 处时，A 市受台风影 响的风力最大。 跟踪训练： 一、填空题： 1、如果直角三角形的边长分别是 6、8、 x ，则 x 的取值范围是 。 2、如图，D 为△ABC 的边 BC 上的一点，已知 AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则 BC＝
B D 第2题图 第3题图 第5题图 3、如图,四边形ABCD中,已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且∠B=900,则∠DAB= 4、等腰△ABC中,一腰上的高为3cm,这条高与底边的夹角为30°,则SABC 5、如图,△ABC中,∠BAC=900,∠B=2∠C,D点在BC上,AD平分∠BAC,若AB=1,则BD的长为 6、已知Rt△ABC中,∠C=90,AB边上的中线长为2,且AC+BC=6,则SABC=_ 7、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,腰长为8cm,AC、BD相交于O点,且∠AOD=600,设E、F分别为Co、 AB的中点,则EF 第7题图 第8题图 第9题图 8、如图,点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于P点,BQ⊥AD。已知PE=1,PQ 则 9、如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正 方形A、B、C、D的面积的和是 二、选择题 1、如图,已知△ABC中,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③ △BRP≌△QSP中() A、全部正确 B、仅①和②正确C、仅①正确D、仅①和③正确 2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍,并且有一个角是30,那么这个三角形的形状是() 直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定 、在四边形ABCD中,AD⊥CD,AB=13,BC=12,CD=4,AD=3,则∠ACB的度数是 大于 B、小于900 C、等于90 D、不能确定 B 第1题图 第4题图 4、如图,已知△ABC中,∠B=90,AB=3,BC=√3,OA=0C=√6,则∠OAB的度数为 A、100 解答题
9 第 2 题图 13 12 5 C D B A 第 3 题图 D B C A 第 5 题图 B D C A 3、如图，四边形 ABCD 中，已知 AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝ 。 4、等腰△ABC 中，一腰上的高为 3cm，这条高与底边的夹角为 300，则 SABC ＝ 。 5、如图，△ABC 中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D 点在 BC 上，AD 平分∠BAC，若 AB＝1，则 BD 的长为 。 6、已知 Rt△ABC 中，∠C＝900，AB 边上的中线长为 2，且 AC＋BC＝6，则 SABC ＝ 。 7、如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，腰长为 8cm，AC、BD 相交于 O 点，且∠AOD＝600，设 E、F 分别为 CO、 AB 的中点，则 EF＝ 。 第 7 题图 F E O D B C A 第 8 题图 E Q P B D C A 第 9 题图 D C B A 8、如图，点 D、E 是等边△ABC 的 BC、AC 上的点，且 CD＝AE，AD、BE 相交于 P 点，BQ⊥AD。已知 PE＝1，PQ ＝3，则 AD＝ 。 9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正 方形 A、B、C、D 的面积的和是 。 二、选择题： 1、如图，已知△ABC 中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB 于 R，PS⊥AC 于 S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③ △BRP≌△QSP 中（ ） A、全部正确 B、仅①和②正确 C、仅①正确 D、仅①和③正确 2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的 2 倍，并且有一个角是 300，那么这个三角形的形状是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 3、在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB 的度数是（ ） A、大于 900 B、小于 900 C、等于 900 D、不能确定 第 1 题图 S R Q B P C A 第 4 题图 O B C A 4、如图，已知△ABC 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝ 3 ，OA＝OC＝ 6 ，则∠OAB 的度数为（ ） A、100 B、150 C、200 D、250 三、解答题：
1、阅读下面的解题过程:已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a b4,试判断△ABC的形状。 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4…① ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) △ABC是直角三角形。 问:(1)上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号 (2)错误的原因是 (3)本题的正确结论是 2、已知△ABC中,∠BAC=750,∠C=60,BC=3+√3,求AB、AC的长 3、如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE于 (1)求证:G是CE的中点 (2)∠B=2∠BCE 第3题图 第4题图 4、如图,某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园,∠ACB=900,BC=60米,∠A=36。 (1)若入口E在边AB上,且与A、B等距离,请你在图中画出入口E到C点的最短路线,并求最短路线CE 的长(保留整数 (2)若线段CD是一条水渠,并且D点在边AB上,已知水渠造价为50元/米,水渠路线应如何设计才能使 造价最低?请你画出水渠路线,并求出最低造价。 参考数据:sin360=0.5878,sin540=0.8090 5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC=5。 (1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形 (2)k为何值时,△ABC是等腰三角形,求出此时其中一个三角形的面积。 参考答案 填空题 1、10或2√7:2、1659:3、1359:4、33cm2:5、√3-1:6、5:7、4 8、7;9、49 、选择题:BDCB 三、解答题 1、(1)③:(2)略:(3)直角三角形或等腰三角形 2、提示:过A作AD⊥BC于D,则AB=3√2,AC=2√3
10 1、阅读下面的解题过程：已知 a、b 、c 为△ABC 的三边，且满足 2 2 2 2 4 a c − b c = a 4 − b ，试判断△ABC 的形状。 解：∵ 2 2 2 2 4 a c − b c = a 4 − b ……① ∴ ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 c a − b = a + b a − b ……② ∴ 2 2 2 a + b = c ……③ ∴△ABC 是直角三角形。 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。 2、已知△ABC 中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝3 + 3 ，求 AB、AC 的长。 3、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC＝BE，DG⊥CE 于 G。 （1）求证：G 是 CE 的中点； （2）∠B＝2∠BCE。 第 3 题图 G E B D C A 第 4 题图 C A B 4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60 米，∠A＝360。 （1）若入口 E 在边 AB 上，且与 A、B 等距离，请你在图中画出入口 E 到 C 点的最短路线，并求最短路线 CE 的长（保留整数）； （2）若线段 CD 是一条水渠，并且 D 点在边 AB 上，已知水渠造价为 50 元／米，水渠路线应如何设计才能使 造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。 参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090 5、已知△ABC 的两边 AB、AC 的长是方程 (2 3) 3 2 0 2 2 x − k + x + k + k + = 的两个实数根，第三边 BC＝5。 （1） k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形； （2） k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。 参考答案 一、填空题： 1、10 或 2 7 ；2、16.9；3、1350；4、3 3 cm2；5、 3 −1 ；6、5；7、4 8、7；9、49 二、选择题：BDCB 三、解答题： 1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形 2、提示：过 A 作 AD⊥BC 于 D，则 AB＝3 2 ，AC＝ 2 3