《概率论》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 随机变量的数字特征

定理推广:设Z=g(X,Y(g为二元连续函数, (3)若(X,Y)是离散型,其分布律为 PX=x1,Y=y}=pnj=1,2,…,则 E()=g(X,Y)=∑∑x,y) J (4)若(X,Y)是连续型,其概率密度为f(x,y),则 +0+00 E(Z)=Elg(X, r)= g(x, y)f(x, y)dxdy

(3) 若(X,Y)是离散型，其分布律为 (4) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则 i j i i j j E Z E g X Y g x y p  =  = = = 1 1 ( ) [ ( , )] ( , ) E(Z) E[g(X,Y)] g(x, y) f (x, y)dxdy   +  − +  − = = 定理推广： P{X = x ,Y = y } = p ,i, j = 1,2,  , i j i j 则 设 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数)

2 例7设(X,Y的联合分布律为 10.402 20.30.1 求Z1=XY2,Z2=X+Y的数学期望 解(X,Y)的取值及对应的概率如下表: (X,)(1,1)(,2)(2,1)(2,2) XY2 X+Y 2 3 4 Pk0.40.30.20.1 E(Z1)=E(XY2)=1×04+4×0.3+2×0.2+8×01=28 F(Z2)=B(X+Y)=2×04+3×03+3×02+4×0.1=27

Z = XY ,Z2 = X +Y 2 求 1 的数学期望． E(Z ) E( ) 2 1 = XY E(Z ) E( ) 2 = X +Y Y 1 2 1 0.4 0.2 2 0.3 0.1 XY2 1 4 2 8 例7 设(X,Y)的联合分布律为 解 (X,Y)的取值及对应的概率如下表: (X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) pk 0.4 0.3 0.2 0.1 X+Y 2 3 3 4 =10.4+40.3+20.2+80.1= 2.8 = 20.4+30.3+30.2+40.1= 2.7 X

结论: (1)若(X,是离散型,其分布律为 PX=x,Y=}=Pj=1,2,,则 o oo E(X)=∑∑xP1E()=∑∑yP i=1j=1 (2)若(X,Y是连续型,其概率密度为f(x,y),则 E(X)=。x(xy)d +0+0 E(Y)= yf(x, y)dxdy

(1) 若(X,Y)是离散型，其分布律为 ij i i j E X  x p  =  = = 1 1 ( ) P{X ,Y } , , 1,2, , i j ij = = = = x y p i j 则 ij i j j E Y  y p  =  = = 1 1 ( ) 结论： (2) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则 E(X) x f (x, y)dxdy   +  − +  − = E(Y) y f (x, y)dxdy   +  − +  − =

例8设X,Y的概率密度为 xy- f(x,=12r2,-<y<x,x> x 其它 求数学期望E(Y,E/XY +oo+oO 解ECD)=小y(x,y=23= 1/x ++ E()= XY ∫/xy)=J[2 1/x

例8 设(X,Y)的概率密度为 其它 , 1 1 0, , 2 3 ( , ) 3 2         = y x x x y x f x y 求数学期望E(Y), E(1/XY). 解 xy=1 o x y x=y   +  − +  − E(Y ) = yf (x, y)dxdy 4 3 2 3 1 1/ 3 = =   + x x dy x y dx   +  − +  − = f x y dxdy XY xy E ( , ) 1 ) 1 ( 5 3 2 3 1 1/ 4 3 = =   + x x dy x y dx 1

数学期望的性质: 假设以下随机变量的数学期望均存在 1.E(O=C,(C是常数) 2.E(CX)=CE(X,(C是常数) 3.E(X±1)=E(X±E() 4.设X与Y相互独立,则E(X刀=E(X)E(刀 注]性质34可推广到有限个的情况

假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X±Y)=E(X) ±E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y) ➢数学期望的性质: [注] 性质3.4.可推广到有限个的情况