例4某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 付款的方式记使用寿命为X(以年记,规定: X1,一台付款1500元;1<X≤2,一台付款2000元; 2<X≤3,一台付款2500元;X3,一台付款3000元 设寿命X服从指数分布,概率密度为 f(x)=10 e10,x>0 x<0. 试求该商店一台电器收费Y的数学期望
例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 付款的方式.记使用寿命为X(以年记), 规定: X1, 一台付款1500元; 1<X 2, 一台付款2000元; 2<X3, 一台付款2500元; X>3, 一台付款3000元. 试求该商店一台电器收费Y的数学期望. = − 0, 0. , 0 10 1 ( ) 1 0 x e x f x x 设寿命X服从指数分布, 概率密度为
解一台收费的分布律 Y 1500 2000 2500 3000 k 0.09520.0861 0.07790.7408 1ax1dk=1-。01=0.0%5 P(X<1=ie 10 P1<Xs2 =r ioe 21,=e1n02=0.0861 P{2<X≤3}= 2ee -/1o d x p-0.2 0.3 e =0.0779, P3<X}= -x/10 0.3 e 0.7408 310 >E(Y)=273215
解 一台收费Y的分布律 Y 1500 2000 2500 3000 pk P{X1} P{ 1<X 2} P{2<X3 } P{X>3} 1 0.0952, 10 1 { 1} /10 0.1 1 0 = = − = − − P X e dx e x 0.0861, 10 1 {1 2} 10 0.1 0.2 2 1 = = − = − − − P X e dx e e x 0.0779, 10 1 {2 3} /10 0.2 0.3 3 2 = = − = − − − P X e dx e e x 0.7408, 10 1 {3 } /10 0.3 3 = = = − − P X e dx e x 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408 E(Y)=2732.15
◆随机变量的函数的数学期望 定理1设Y是随机变量X的函数:F=g(X)(g为连续函数) (1)X离散型的分布律为:P4=P{X=x},k=1,2,… 若级数∑g(x)P绝对收敛,则 E(Y)=Eg(X)=∑g(xk) =1 +0 (2)X(连续型的概率密度为f(x),若积分g(x)f(x 绝对收敛,则 E(Y)=E8(X)]= g(x)f(r)dx
(1) X(离散型)的分布律为： 若级数 绝对收敛，则 pk = P{X = xk }, k = 1,2, =1 ( ) k g xk pk ( ) [ ( )] ( ) , 1 k k E Y E g X g xk p = = = E(Y) E[g(X)] g(x) f (x)dx + − = = g(x) f (x)dx + − (2) X(连续型)的概率密度为 f (x) ,若积分 绝对收敛，则 定理1 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X) (g为连续函数) ◆随机变量的函数的数学期望
证(1)由离散型随机变量的函数的分布,有 ()|g(x1)g(x2)…g(xk) 1112…Pk E()=E(X)=∑(x (2)设X是连续型随机变量,F=g(Ⅺ)的概率密度为 fy(y) ∫(y)](y)a<y<B 其它 E()=y①y)=my)h(y)d h(y)>0:E(=[m1M()()=[8(x)(x)(令y=g(x) h(y)<0:E()=- 1M)()=丁x(x=8(x)(x
p1 p2 pk g(x1 ) g(x2 ) g(xk ) ( ) [ ( )] ( ) , 1 k k E Y E g X g xk p = = = . , 0, [ ( )]| ( ) |, ( ) Y 其它 = f h y h y y f y = = + − E Y y f y dy yf h y h y dy Y ( ) ( ) [ ( )]| ( ) | E(Y) = yf[h(y)]h(y)dy = g(x) f (x)dx ( y = g(x)) + − 令 + − − + E(Y) = − yf[h(y)]h(y)dy = − g(x) f (x)dx = g(x) f (x)dx Y=g(X) 证 （1）由离散型随机变量的函数的分布，有 k p （2）设X是连续型随机变量，Y=g(X)的概率密度为 h( y) 0 : h( y) 0 :
例6国际市场每年对我国某种商品的需求量X(吨) 是一随机变量,它服从(a,b)上的均匀分布.设每售 出该商品一吨可以为国家创汇s万元,但若销不出去 而压于仓库,则每吨亏损l万元,问应组织多少货源 才使国家收益的期望值最大? 解设组织货源为t(吨),由题意ast≤b, 收益Y是X的函数 8()ssX-(t-X)/ 0l, a <Xst a<x<b t<Xsb ∫(x)={b 1°0.其它 E(Y)=(X)=g(x)f(x)令 E(=0 26-a)(+2+20s-(得:ts4+D小0 Ix-(t-x)u] dx+lst,dc b-a -(+s)+(la+sb) l+s
例6 国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨） 是一随机变量，它服从(a, b)上的均匀分布．设每售 出该商品一吨可以为国家创汇 s万元，但若销不出去 而压于仓库，则每吨亏损 l 万元，问应组织多少货源 才使国家收益的期望值最大？ 解 设组织货源为t（吨）,由题意a≤t ≤b, 收益Y是X的函数： X b X , X ( X) , Y (X) − − = = t a t st s t l g 1 , ( ) 0, a x b f x b a = − 其它. [ ( ) 2( ) ( ) ] 2( ) 1 1 1 [ ( ) ] 2 2 l s t l a sb t l s a b a dx b a dx st b a x t x l b t t a − + + + − + − = − + − = − − E Y E g X g x f x dx b a ( ) [ ( )] ( ) ( ) = = 令 得: E(Y) = 0 dt d l s la sb t + + = − + + + = ( ) ( ) 0 l s t la sb