证(仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4) 设(X,Y)的概率密度为f(xy),其边缘概率密度分别为 ∫x(xy),f∫r(xy),则 HX士y)=°「(x±y)/(x,y)tc +∞P+0 ++Q xf(x,yd± yf(, y)dxdy o。-00 +0 =xfx(x)±yf(y)=F(X)±FY) 又若X与Y相互独立,则∫(x,y)=x(x)fF(y) +0P+0 +0p+0 EXY (xy)f(x, y)dxdy xyfx (xfy)dxdy 广xfG)d[D(=XFY
E(X Y) = (x y) f (x, y)dxdy + − + − f (x, y) f (x) f ( y) = X Y E(XY) (xy) f (x, y)dxdy + − + − = 证 (仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4) 设(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度分别为 fX（x,y）， fY（x,y），则 又若X与Y相互独立，则 xf (x, y)dxdy y f (x, y)dxdy + − + − + − + − = x f x dx y f y dx= E(X)E(Y) X Y ( ) ( ) + − + − = xy f x f y dxdy X Y ( ) ( ) + − + − = = ( ) ( ) = E(X) E(Y) + − + − x f x dx yf y dy X Y
例一民航机场的送客车,载有20名乘客自机场开出,旅客 有10个车站可以下车,如到达一站没旅客下车就不停车.假 设每位旅客在各站下车是等可能的,且旅客之间在哪一站下 车相互独立.以X表示停车次数,求E(X 解引入随机变量X ∫0,第i站无人下车, i=1,2,…,10 ,第有人下车, 则X=X1+X2+…+X10 由题意P(X2=0)=()2,P(X1=1=1(91 EX)=1-0.920,i=12,…,0 E(X)=E(X1+…X10)=10×(1-0.9)≈8.784 I注l这种引进新的随机变量,将原随机变量分解成有限个 随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义
由题意 1 2 10 1, 0, ，， ， 第 站有人下车， 第 站无人下车， = = i i i Xi X = X1 + X2 ++ X10 E(X ) 1- 0.9 , 1,2, ,10 i = 2 0 i = ( ) ( ) 10 (1 0.9 ) 8.784 2 0 E X = E X1 +X1 0 = − [注] 这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个 随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义. 例9 一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客 有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车．假 设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下 车相互独立．以X表示停车次数，求E(X)． 20 20 ) 10 9 ) , ( 1) 1 ( 10 9 P(Xi = 0) = ( P Xi = = − 解 引入随机变量 则