第二章导数与微分 ()="y)+Clnm-y+…+u0y" n(+x)]= (-1)x)(k-1)! ,(k为正整数) y"÷x2(-D(n-1)!2nx(-1)=(m-2+m(n-1(-1)2(m-3) (1+x) (1 (1+x) f(0)=(-1)ym(n-1(n-=-D)“n 总结:具有n阶可导的两个因子乘积的函数的n阶导数可用莱氏公式处理,但此办法不常用 般应用直接法如例4,或间接法如例5,来求得函数的高阶导数 例7.设y=y(x)由参数方程5n)-×x=0所确定,求d 解:参数方程两端关于1分别求导,得: 二 =2e(3t+1 dt dy 即 SIn y t sin y dy e sin y 2(3+1)(1- I COS) 当t=0时,x=0,y=,所以 总结:此题既有参数方程的求导,又包含隐函数求导,而对隐函数求导方法有三种: ①方程两边对x求导,注意y是x的函数,例如-,y2,ny,e都是x的复合函数 ②直接代公式,由F(x,y)=0,知 dy F(x, y) dx Fl(x, y) 其中F(x,y)及F(x,y)表示F(x,y)对x和y的偏导数 ⑥利用微分形式不变性,在方程两边求微分,然后求出 例8.求参数方程 x= acos t 的二阶微分 y=asin x
第二章导数与微分 30 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) / (0) ( ) ( ) n n n n n n uv = u v + C u v + + u v − " [ ] ( )k k k x k x + − − + = − 1 ( 1) ( 1)! ln(1 ) ( 1) ( ) ，（k 为正整数） 2 3 1 2 1 2 ( ) (1 ) ( 1)( 1) ( 3)! (1 ) 2 ( 1) ( 2)! (1 ) ( 1) ( 1)! ( ) − − − − − + − − − + + − − + + − − = n n n n n n n x n n n x nx n x x n f x (0) ( 1) ( 1)( 3)! ( ) 3 = − − − − f n n n n n 2 ( 1) ! 1 − − = − n n n 总结：具有n 阶可导的两个因子乘积的函数的 n 阶导数可用莱氏公式处理，但此办法不常用， 一般应用直接法如例 4，或间接法如例 5，来求得函数的高阶导数。 例 7．设 y = y(x) 由参数方程 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = = + + 0 2 sin 3 2 1 2 π t y y e t t x 所确定，求 dx t=0 dy 。 解： 参数方程两端关于t 分别求导，得： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = = + cos sin 0 6 2 dt dy y dt dy t y t dt dx ex 即 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = = + − t y y dt dy e t dt dx x 1 cos sin 2 3 1 2(3 1)(1 cos ) sin t t y e y dx dy x dt dx dt dy + − ∴ = = 当t = 0 时， 2 0, π x = y = ，所以 2 1 0 = dx t= dy 总结：此题既有参数方程的求导，又包含隐函数求导，而对隐函数求导方法有三种： ○1 方程两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，例如 y y y e y , ,ln , 1 2 都是 x 的复合函数 ○2 直接代公式，由 F(x, y) = 0，知 ( , ) ( , ) / / F x y F x y dx dy y x = − 其中 ( , ) / F x y x 及 ( , ) / F x y y 表示 F(x, y) 对 x 和 y 的偏导数 ○3 利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后求出 dx dy 例 8．求参数方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = y a x x a t 3 3 sin cos 的二阶微分
第二章导数与微分 3asin-t cos t 解: -=-tan t, trla 3a cos tsint day d ddt dx2 dxdx dx Bacos-tsint acos tsin t Bacos tsint 总结:在对参数方程进行二次求导时,一定要先求y对x的一阶导数,再对一阶导数的结果 继续求二阶导,并且在此过程中再次应用复合函数求导法则和反函数求导法则,把参数t看 成x的函数 例9.设y=f(nx)e(),其中f(x)可微,则求dy 解:y=f(nx)nx)e+fnx)e/(x)=er(mx)+r()/anx) dy f(nx)+'(x)f( x)dx 例10.讨论f(x) x sin >0 在(∞,+)内的连续性与可导性,并求∫(x)。 0 解:连续性 x≠0时f(x)为(∞,0)(0.+)的初等函数,所以f(x)当x≠0时,每一点都连续 2x=0时f(x)=0 f(0 )=lim f()=limx =0=f(o) f(0)=lim f(x)=limx sin-=0=f(O) f(x)在x=0点连续 综上所述,Vx∈(-∞,+∞),f(x)连续 可导性 x>0Htf'(x)=(xsin J)=x cos(-)+2xsin=-coS+2xsin I 2x<0时f(x)=(x3)=3x2 31
第二章导数与微分 31 解： t a t t a t t dx dy dt dx dt dy tan 3 cos sin 3 sin cos 2 2 = − − = = ， dx dt dx dy dx d dx d y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 a t t t 3 cos sin 1 sec 2 2 − = − ⋅ 3a cos tsin t 1 4 = ， 2 4 2 3 cos sin 1 dx a t t d y = 总结：在对参数方程进行二次求导时，一定要先求 y 对 x 的一阶导数，再对一阶导数的结果 继续求二阶导，并且在此过程中再次应用复合函数求导法则和反函数求导法则，把参数t 看 成 x 的函数。 例 9．设 ( ) (ln ) f x y = f x e ，其中 f (x) 可微，则求dy 解： (ln )(ln ) (ln ) ( ) / / / ( ) ( ) / y f x x e f x e f x f x f x = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = (ln ) + ( ) (ln ) ( ) 1 / / f x f x f x x e f x f x f x f x dx x dy e f x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ = (ln ) + ( ) (ln ) ( ) 1 / / 例 10．讨论 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = 0 0 1 sin ( ) 3 2 x x x x x f x 在(− ∞,+∞) 内的连续性与可导性，并求 ( ) / f x 。 解： 连续性 ° 1 x ≠ 0时 f (x) 为(− ∞,0) (, 0,+∞)的初等函数，所以 f (x) 当 x ≠ 0 时，每一点都连续 ° 2 x = 0 时 f (x) ＝0 (0 ) ( ) 0 (0) 3 0 0 f lim f x limx f x x = = = = → − → − − 0 (0) 1 (0 ) ( ) sin 2 0 0 lim lim f x f f x x x x = = = = → + → + + ∴ f (x) 在 x = 0 点连续 综上所述，∀x ∈(−∞,+∞), f (x) 连续 可导性 ° 1 x > 0 时 x x x x x f x x x 1 2 / 2 1 / 2 1 ) 2 sin 1 ( ) = ( sin ) = cos (− + ＝ x x x 1 1 − cos + 2 sin ° 2 x < 0 时 / 3 / 2 f (x) = (x ) = 3x
第二章导数与微分 3x=0时/(o)=lm(x)-f(0)=1mx-0=0 -0 (0)=1im(x)=/0=m 0 =0∴f(0)=f(0)=f(0) cos 1+ 2xsin L 综上所述f(x)在(-+)每点可导,其导数为f(x)={0 0 x< 总结:注意讨论分段函数的可导性时,分界点的导数一定用定义求;当讨论分段函数的连续 性时要注意讨论∫(x)在分界点的极限是否等于该函数在分界点的函数值。 e x<I 例11.设f(x)= lax+b x> 问ab取何值时∫(1)存在 解:∵f(1)存在∴f(x)在x=1处连续 lim f(x)=lim e =e=f(1) lim f(x)=lim(ax+b)=a+b a+b 又f(x)在x=1处可导 ()=lim /(x)-f(- lim==elim e-1-1 x→1 e lim →1x-1 f(=lim /(x)-f(=lim +b-e=lim ar+b-(a+b) a=2e,b=-e时,∫(1)存在 四.练习题 1.是非题判断下列各题方法是否正确,若不正确请给出正确的解法 (1)设f(x)=√ x sInx求f(0) f(x)=-2zsin x+x'cos f(x)无意义:f(O)不存在
第二章导数与微分 32 ° 3 x = 0 时 0 0 0 lim 0 ( ) (0) (0) lim 3 0 0 / = − − = − − = − → − → − x x x f x f f x x 0 0 sin 0 lim 0 ( ) (0) (0) lim 2 1 0 0 / = − − = − − = + → + → + x x x f x f f x x x (0) (0) (0) / / / ∴ f = f = f − + 综上所述 f (x) 在(− ∞,+∞)每点可导，其导数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < = − + > = 3 0 0 0 cos 2 sin 0 ( ) 2 1 1 / x x x x x f x x x 总结：注意讨论分段函数的可导性时，分界点的导数一定用定义求；当讨论分段函数的连续 性时要注意讨论 f (x) 在分界点的极限是否等于该函数在分界点的函数值。 例 11． 设 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + > ≤ = 1 1 ( ) 2 ax b x e x f x x 问 a,b 取何值时 (1) / f 存在 解： ∵ f / (1)存在∴ f (x)在x = 1处连续 f x ax b a b f x e e f x x x x x = + = + ∴ = = = + + − − → → → → lim ( ) lim( ) lim ( ) lim (1) 1 1 1 1 2 e x x e x e e x e e x f x f f f x x a b e x x x x x x 2 1 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 ( ) (1) (1) lim ( ) 1 2 1 1 1 1 1 / 2 2 = − − = − − = − − = − − = = ∴ + = − − − − → − → → → − 又 在 处可导 a x ax b a b x ax b e x f x f f x x x = − + − + = − + − = − − = + → + → + → + 1 ( ) lim 1 lim 1 ( ) (1) (1) lim 1 1 1 / 2 , 时， (1)存在 2 , / a e b e f a e b e ∴ = = − ∴ = = − 四．练习题 1．是非题 判断下列各题方法是否正确，若不正确请给出正确的解法 （1） ( ) sin (0) 3 / 设 f x = x x 求f ( ) 无意义 (0)不存在 ( ) sin cos / 0 / 3 / 1 3 1 3 2 f x f f x x x x x x ∴ = + =
第二章导数与微分 (2)(x)在x=0处连续,f(x)=(x-a)(x)求f(a) f(x)=(x)+(x-a)q(x) f(a=p(a) (3)若f()在不可导,u=8(x)在x可导,且0=g(x0), 则几g(x)在x处不一定可导 由y=y(0(0()≠0可知y=y"( (4)设 ∫x=o() p(t 填空 (1)设f(-x)=-f(x),f(x)=k,则f(-x)= (2)设/可导函数,y= cos lf[sinf(x)= (3)设f(x)=,则f"(x) (4)设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy(-1)处相切 其中a,b是常数,则a=;b= (5)设 1+则ay= y=cos sin x (6)f(x)= x≠0则f(0) 0 0 (7)y=y(x)由e”y+cos(xy)=0确定,则 dy 3.选择题 (1)设F(x)={ 1(2x≠0其中f(x)在x=0处可导, f(0)x=0 f(0)≠0,f(0)=0,则x=0是F(x)的() A连续点 B第一类间断点 C第二类间断点 D连续点或者间断点不确定 (2)设y=f(x)在x处可导,当x由x增加到x+△x时 记y为(x)的增量,d为f(x)的微分,则lim3x=(
第二章导数与微分 33 （2） ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) / ϕ x 在 x = 处连续，f x = x − a ϕ x 求 f a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / f a a f x x x a x ϕ ϕ ϕ ∴ = ∵ = + − （3） ( ) ( ) ( ), 0 0 0 0 若f u 在u 不可导，u = g x 在x 可导，且u = g x 则 f [g(x)] 在x0 处不一定可导 （4） ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) // // / // / / / t t t y t t y y t x t x x ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ = ≠ = ⎩ ⎨ ⎧ = = 设 由 可知 2．填空题 （1） (− ) = − ( ), ( ) = , (− ) = / / 设 f x f x f x k 则 f x （2） = { } = dx dy 设 f为可导函数，y cos f [sin f (x)] , （3） = + − = , ( ) 1 1 ( ) ( ) f x x x f x 设 则 n （4）设 曲线y = x 2 + ax + b和2y = −1+ xy 3 (1,－1)处相切 其中a，b是常数，则a = ;b = （5） = ⎩ ⎨ ⎧ = = + 2 2 2 cos 1 dx d y y t x t 设 则 （6） = ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = (0) 0 0 sin 0 ( ) / 1 2 f x x x f x x 则 （7） = + = = + dx dy y y x e xy ( ) 由 x y cos( ) 0确定，则 3．选择题 （1）设 其中 ( )在 0处可导， (0) 0 0 ( ) ( ) = ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = f x x f x x F x x f x f / (0) ≠ 0, f (0) = 0,则x = 0是F(x)的（ ） A 连续点 B 第一类间断点 C 第二类间断点 D 连续点或者间断点不确定 （2）设y = f (x)在x0处可导，当x由x0增加到x0 + ∆x时 ( ) ( ) lim ( ) 0 ∆ = ∆ ∆ − ∆ → x y dy x 记 y为f x 的增量，dy为f x 的微分，则 A -1 B 0 C 1 D ∞
第二章导数与微分 (3)设f(x) x sin x>0 在x=0处可导,则a,b分别为() +bx≤0 Aa=1.b=0 Ba=0,b为任意常数 Ca=0.b=0 Da=1,b为任意常数 (4)f(x)=(x2-x-2)|x3-x的不可导点的个数是:() B 2 (5)若y=f(x)在x处的导数(x0)=0,则y=f(x)在点(x0,f(x0)处的法线 A与x轴相平行 B与x轴垂直 C与y轴相垂直 D与x轴既不垂直也不平行 (6)f(x)为奇函数,则f(x)为() A奇函数 B偶函数C非奇非偶 D不确定 (7)f(x)为偶函数,则f(x)为() A奇函数 B偶函数 C非奇非偶 D不确定 4.主观题求解下列各题 x= arcsin (1)设 y=√1+t (2)x-22+2=0求y(0)。 (3)y=a+ln(xy)+e2求d。 (4)求( (5)求对数螺线p=e"在(p,O)=(e5,)处切线的直角坐标方程 (6)f(x)= x≤0求∫(x) 1x>0 (7)设/(0)=ag(0)=b且f(0)=g(0)求Im(x)-8(= 练习题答案 1.(1)× (2)× (3) (4) 2.(1)k (2)f(x)cosf(x)f[sinf(x)[-sninf(x) (-1)2 (1+x)
第二章导数与微分 34 （3）设 在 0处可导， 0 sin 0 ( ) 2 1 = ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ > = x ax b x x x f x x 则a，b分别为（） A a=1,b=0 B a=0,b 为任意常数 C a=0,b=0 D a=1,b 为任意常数 （4） f (x) = (x 2 − x − 2) | x 3 − x |的不可导点的个数是：（） A 3 B 2 C 1 D 0 （5）若y = f (x)在x0处的导数f / (x0 ) = 0，则y = f (x)在点 ( , ( )) ( ) x0 f x0 处的法线 A 与 x 轴相平行 B 与 x 轴垂直 C 与 y 轴相垂直 D 与 x 轴既不垂直也不平行 （6） f (x)为奇函数，则f / (x)为（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶 D 不确定 （7） f (x)为偶函数，则f / (x)为（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶 D 不确定 4．主观题 求解下列各题 （1） 2 2 1 arcsin dt d y y t x t 设 求 ⎩ ⎨ ⎧ = + = 。 （2） 2 2 0 (0) / xy y − x + y = 求 。 （3） y a xy e dy = + ln( ) + 2x 求 。 （4） ( ) 2 ) 3 2 1 ( n x − x + 求 。 （5）求对数螺线 θ ρ = e 在( , ) ( , ) 2 2 π π ρ θ = e 处切线的直角坐标方程 。 （6） ( ) 1 0 0 ( ) / 2 f x e x x x f x x 求 ⎩ ⎨ ⎧ − > ≤ = （7） x f x g x f a g b f g x ( ) ( ) (0) , (0) , (0) (0) lim 0 / / − − = = = → 设 且 求 练习题答案 1．（1）× （2）× （3）√ （4）× 2．（1）k （2） ( ) cos ( ) [sin ( )] [ sin{ [sin ( )]}] / / f x f x f f x ⋅ − f f x （3） 1 (1 ) ( 1) 2 ! + + − ⋅ n n x n （4）a= －1 b=－1