中国石油大学（北京）：《高等数学》课程教学资源（辅助教材讲义，共十二章）

章函数与极限 其中x=4x为第二类间断点,x=7x,x 为第一类可去间断点 (7)提示:令F(x)=f(x)-(x+),考虑区间[01-1,利用连续函数的介值定理

第一章 函数与极限 其中 π π 4 5 , 4 x = 为第二类间断点， π π 4 7 , 4 3 x = 为第一类可去间断点 （7）提示：令 ) 1 ( ) ( ) ( n F x = f x − f x + ，考虑区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − n 1 0,1 ，利用连续函数的介值定理 25

第二章导数与微分 第二章导数与微分 二主要内容 大纲要求 理解导数和微分的概念理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线和法线方程,了解导数 的物理意义会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法掌握基本初等函数的导数公式,了解微分 的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算中的应用 3.了解高阶导数的概念会求简单的n阶导数 4.会求分段函数的一阶,二阶导数 5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶,二阶导数,会求反函数的导数 二基本概念 表2·1·1导数的概念 名称 定义 函数f(x)在,设f(x)在x0的某邻域内有定义,如果lim=imf(x+△x)-/(x) 点可导 存在,则函数f(x)在x0点可导 ()在点的如果1m/(x+4)-(存在,则此极限为/(在x点的左导数 Ax→0 K f(x)在x0点的 如果lm少(x+Ax)-f(x) 存在,则此极限为f(x)在x0点的右导数 右导数 f(x)在(ab)上如果f(x)在(ab)上每一点都可导,则f(x)在(a,b)上可导 f(x)在{ab]上若f(x)在(ab)内可导且f(a)及f(b)都存在,则f(x)在ab上可导 可导 高阶导数 如果f(x)的导函数∫(x)在x处可导,则∫(x)在x处的导数为f(x)在 x处的二阶导数,记为f“(x)=lmf(x+Ax)-∫(x)而 fm(x)=lim (x+Ax)-f(m-)(

第二章导数与微分 26 第二章 导数与微分 二 主要内容 一 大纲要求 1. 理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线和法线方程,了解导数 的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系; 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式,了解微分 的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算中的应用; 3. 了解高阶导数的概念,会求简单的 n 阶导数; 4. 会求分段函数的一阶,二阶导数; 5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶,二阶导数,会求反函数的导数. 二 基本概念 表 2 ⋅1⋅1导数的概念 名称 定义 函数 f (x) 在 0 x 点可导 设 f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义，如果 x f x x f x x y x x ∆ + ∆ − = ∆ ∆ ∆ → ∆ → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则函数 f (x) 在 0 x 点可导 f (x) 在 0 x 点的 左导数 如果 x f x x f x x ∆ + ∆ − → − ∆ ( ) ( ) lim 0 0 0 存在，则此极限为 f (x) 在 0 x 点的左导数 f (x) 在 0 x 点的 右导数 如果 x f x x f x x ∆ + ∆ − → + ∆ ( ) ( ) lim 0 0 0 存在，则此极限为 f (x) 在 0 x 点的右导数 f (x) 在 (a,b) 上 可导 如果 f (x) 在(a,b)上每一点都可导，则 f (x) 在(a,b)上可导 f (x) 在 [a,b] 上 可导 若 f (x) 在(a,b)内可导且 ( ) / f + a 及 ( ) / f − b 都存在，则 f (x) 在[a,b]上可导 高阶导数 如果 f (x) 的导函数 ( ) / f x 在 x 处可导，则 ( ) / f x 在 x 处的导数为 f (x) 在 x 处的二阶导数，记为 x f x x f x f x x ∆ + ∆ − = ∆ → ( ) ( ) ( ) lim / / 0 // 而 x f x x f x f x n n x n ∆ + ∆ − = − − ∆ → ( ) ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 ( )

第二章导数与微分 表2·1·2微分的概念 定义 几何意义 若f(x)在x处的某一邻域内有定义当自变量在x处y=f(x)在x0处的微分 取得增量Ax时,y可表示为Ay=AAx+a,A是与d=f(x)x是曲线y=f(x)在 △x无关的量,a是当Ax→>0时比Ax高阶的无穷 f(x0,f(x0)处的切线的纵坐标增量 小,则AAx为f(x)在x处的微分,记为d或d(x), dy=A△x则称y=f(x)在x处可微 2.基本性质与公式 表2·2·1基本性质 序号 名称 内容 f(x)存在的充(x)=/(x) 要条件 2函数可导与连续可导必连续,连续不一定可导 的关系 可导与可微的关可导必可微反之亦然 系 4 阶微分形式的\若y=f(n),u=(x)皆可微,则复合函数可微,且 不变性 dy=f(u)du 表2·2.2求导法则 法则 公式或定理 四则运算设f(x),g(x)在x可导,则 (1)[(x)±g(x)y=f(x)±g(x) (2)[(x)·g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) (3)[x-r(x(g( g(x) (x)8(x)≠0 复合函数 求导 设f(u0)与g(x)存在,l0=g(x0),则F(x)=/g(x)在x0点可导

第二章导数与微分 27 表 2 ⋅1⋅ 2 微分的概念 定义 几何意义 若 f (x) 在 x 处的某一邻域内有定义当自变量在 x 处 取得增量 ∆x 时，∆y 可表示为 ∆y = A∆x +α, A是与 ∆x 无关的量，α 是当 ∆x → 0 时比 ∆x 高阶的无穷 小，则 A∆x 为 f (x) 在 x 处的微分，记为 dy 或 df (x) ， dy = A∆x则称 y = f (x)在 x 处可微 y = f (x) 在 0 x 处的微分 dy f (x )dx 0 / = 是曲线 y = f (x) 在 ( , ( )) 0 0 0 P x f x 处的切线的纵坐标增量 2．基本性质与公式 表 2 ⋅ 2 ⋅1 基本性质 序号 名称 内容 1 ( ) 0 / f x 存在的充 要条件 ( ) 0 / f x − = ( ) 0 / f x + 2 函数可导与连续 的关系 可导必连续，连续不一定可导 3 可导与可微的关 系 可导必可微反之亦然 4 一阶微分形式的 不变性 若 y = f (u),u = u(x) 皆可微，则复合函数可微，且 dy f (u)du / = 表 2 ⋅ 2 ⋅ 2 求导法则 法则 公式或定理 四则运算 设 f (x) ， g(x) 在 x 可导，则 （1）[ ( ) ( )] ( ) ( ) / / / f x ± g x = f x ± g x （2）[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) / / / f x ⋅ g x = f x ⋅ g x + f x ⋅ g x （3） [ ][ ], ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 / / / ≠ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ g x g x f x g x f x g x g x f x 复合函数 求导 设 ( ) 0 / f u 与 ( ) 0 / g x 存在， ( ) 0 0 u = g x ，则 F(x) = f [g(x)] 在 0 x 点可导

第二章导数与微分 且F(x0)=f[8(x0)]g'(x) 反函数求 若x=0(y)在区间l,内单调、可导且q(y)≠O,且其反函数y=f(x)在l 内也可导且f(x)= (y) 隐函数求由(x,)=0所确定的函数y=0(),称y是x的隐函数,求导时只要对 F(x,y)=0求导即可。要注意y是x的函数,最后整理出y=8(x,y) 对数求导某些函数(幂指数或连乘式)求导,不需要显式直接求导,可先两边同时取 对数,化成隐函数,再求导 参数方程 x=(D) 求导 设 在(a,B)上连续可导且g'(1)≠0,则参数方式确定的函数 y=v(1) y=vo(x可导=0 关于求导的基本公式参见教材 三例题分析 f(x) 例1.已知函数f(x)在x=x处连续,且im3①=A,其中A为常数,则∫(x0) x→xoX-x0 是否存在,若存在求之 解::(x)在x=x处连续∴lmf(x)=f(x)mf(x)=tinf((x-x0)=0 (x)=0,…fnf(x)-f(x) lim-y-r) A,∴∫(x)存在且等于A x-x x-o x-x 总结:求函数∫(x)在某点的导数值,既可用求导公式又可利用导数的定义求,如果不知 f(x)的具体表达式,则可考虑用定义求。有些条件隐含于题设条件中,需利用己知条件的 内在联系去发掘。 例2.设∫(x)在x=a处可导,试证:Iim f(a+ah)-f(a- Bh) =(a+B)f(a) h 证明:lm(a+ah)-f(a-m) =limy(a+ah-f(al-lf(a-Bh)-f(a)l

第二章导数与微分 28 且 ( ) [ ( )] ( ) 0 / 0 / 0 / F x = f g x ⋅ g x 反函数求 导 若 x = ϕ( y) 在区间 y I 内单调、可导且 ( ) 0 / ϕ y ≠ ，且其反函数 y = f (x)在 x I 内也可导且 ( ) 1 ( ) / / y f x ϕ = 隐函数求 导 由 F(x, y) = 0 所确定的函数 y = y(x) ，称 y 是 x 的隐函数。求导时只要对 F(x, y) = 0求导即可。要注意 y 是 x 的函数，最后整理出 ( , ) / y = g x y 对数求导 某些函数（幂指数或连乘式）求导，不需要显式直接求导，可先两边同时取 对数，化成隐函数，再求导 参数方程 求导 设 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) y t x t ψ ϕ 在 (α, β ) 上连续可导且 ( ) 0 / ϕ t ≠ ，则参数方式确定的函数 [ ( )] 1 y x − =ψ ϕ 可导 ( ) ( ) / / t t dx dy ϕ ψ = 关于求导的基本公式参见教材 三 例题分析 例 1．已知函数 f (x) 在 0 x = x 处连续，且 A x x f x x x = → − 0 ( ) lim0 ，其中 A 为常数，则 ( ) 0 / f x 是否存在，若存在求之。 解： ∵ f (x) 在 0 x = x 处连续 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ∴ = → ( ) 0 ( ) lim ( ) lim 0 0 0 0 − = − = → → x x x x f x f x x x x x ∵ ∴ f (x0 ) = 0 ， A x x f x x x f x f x f x x x x x = − = − − ∴ = → → 0 0 0 0 / ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim0 0 ， ( ) 0 / ∴ f x 存在且等于 A 总结：求函数 f (x) 在某点的导数值，既可用求导公式又可利用导数的定义求，如果不知 f (x) 的具体表达式，则可考虑用定义求。有些条件隐含于题设条件中，需利用已知条件的 内在联系去发掘。 例 2．设 f (x) 在 x = a 处可导，试证： ( ) ( ) ( ) ( ) lim / 0 f a h f a h f a h h α β α β = + + − − → 证明： h f a h f a h h ( ) ( ) lim 0 +α − − β → = h f a h f a f a h f a h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + − − − − → α β

第二章导数与微分 limyaff(a+ah)-f(a)] Blf(a-Bh)-f(a) =cf(a)+(a)=(a+B)f(a) 总结:这里不能用求∫(x)的导函数的方法来求f(a),因为f(x)只在x=a处可导,所以 只能用定义求,此题的结论可直接应用,但要注意a=0时也适用。 例3.设f(x)=a+x“+a2+x2求f(x) 解:(a")=a" Ina- a in a=a(lna)2,(x“)=a“x“" In a+xa-l Ina 令t=x则Int=xlnx,两边对x求导得t=nx+1,t=x2(lnx+1) f(x)=a+(na)+axo-+a+lxa-l Ina+x (Inx+1) 例4.f(x)=,一,求∫( 解:f(x)= 当n>3时,∫(x)=八 总结:求∫(x)的n阶导数时,如果f(x)为分式,可考虑对分子或分母因式分解,将其拆 为简单的分式,并应用数学归纳法求解 例5.y=sin4x+cos4x,求ym) 1-cos 4x 3 1 A: y=(sin x+cosx)--2sinxcosx=l--sin 2x= =二+-cos4x m)=-x 4" cos(4x+n-)=4 -cos(4x+ n 2 总结:由cos"mx,sin"mx(m,n为自然数)的差、和、积所构成的函数,进行求高阶导数时 一般利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的次幂逐次降低,最后变为 cos kx, sin kx 之和(差)的形式,应用已有公式进行高阶求导。 例6.求f(x)=x21n(1+x)在x=0处的n阶导数f(0),n≥3 解:由莱布尼兹公式

第二章导数与微分 29 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + + − → h f a h f a h f a h f a h β β β α α[ ( α ) ( )] [ ( ) ( ) lim 0 = ( ) ( ) / / αf a + βf a = ( ) ( ) / α + β f a 总结：这里不能用求 f (x) 的导函数的方法来求 ( ) / f a ，因为 f (x) 只在 x = a 处可导，所以 只能用定义求，此题的结论可直接应用，但要注意 a = 0 时也适用。 例 3．设 a a x x f x a x a x x a a ( ) = + + + 求 ( ) / f x 解： / 2 (a ) a ln a a ln a a (ln a) a a x a x x x x + = ⋅ = ， / 1 ( ) − = a a a a a x a x a a a a x a x a x x a x a a a a ( ) ln ln / −1 +1 −1 = ⋅ ⋅ = 令 x t = x 则ln t = x ln x ，两边对 x 求导得 ln 1 1 / ⋅t = x + t ， (ln 1) / t = x x + x ( ) (ln ) ln (ln 1) / 2 1 1 1 ∴ = + + + + + − + − f x a a a x a x a x x a x a a x a x x a a 例 4． x x f x − = 1 ( ) 3 ，求 ( ) ( ) f x n 解： x x x x x f x − = − + + + − − + = 1 1 ( 1) 1 1 1 ( ) 2 3 当 n > 3时， 1 ( ) (1 ) ! ( ) + − = n n x n f x 总结：求 f (x) 的 n 阶导数时，如果 f (x) 为分式，可考虑对分子或分母因式分解，将其拆 为简单的分式，并应用数学归纳法求解。 例 5． y x x 4 4 = sin + cos ，求 (n) y 解： y x x x x 2 2 2 2 2 = (sin + cos ) − 2sin cos = sin 2x 2 1 1 2 − = 4 1 cos 4 1 − x − = cos 4x 4 1 4 3 + ) 2 4 cos(4 4 ( ) 1 π y x n n n = × + ) 2 4 cos(4 1 nπ x n = + − 总结：由 mx mx m n n n cos ,sin ( , 为自然数）的差、和、积所构成的函数，进行求高阶导数时， 一般利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的次幂逐次降低，最后变为cos kx,sin kx 之和（差）的形式，应用已有公式进行高阶求导。 例 6．求 ( ) ln(1 ) 2 f x = x + x 在 x = 0处的 n 阶导数 (0) (n) f ， n ≥ 3 解： 由莱布尼兹公式