四、两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F‖ s cos 8(其中6为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量 定义向量n与b的数量积为a·b d·b=i‖bc0s6(其中为与b的夹角)
一物体在常力F 作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F 所作的功为 W | F || s | cos = (其中 为F 与s 的夹角) 启示 向量a 与b 的数量积为a b a b | a || b | cos = (其中 为a 与b 的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 四、 两向量的数量积
d·b=lb|c0s6 I b cos0=Prjb, a cos e=Prjba ·b=b|Prjl=| a Prib 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积 数量积也称为“点积”、“内积
a b a b | a || b | cos = | b | cos Pr j b, a = | a | cos Pr j a, b = a b b j ba =| | Pr | a | Pr j b. a = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积
关于数量积的说明: (1)aa=a12 (2)l·b=0←→l⊥b 数量积符合下列运算规律: (1)交换律:ab=b·l; (2)分配律:(a+b)·E=a·c+b·; (3)若九为数:(a)·b=a·(b)=孔(a·b) 若九、A数:(Aa)·(b)=u(a·b)
数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a; = （2）分配律： (a b) c a c b c; + = + （3）若 为数： ( a) b a ( b) (a b), = = 若 、为数：( a) ( b) (a b). = 关于数量积的说明： (1) | | . 2 a a a = (2) a b = 0 a b. ⊥
数量积的坐标表达式 ix a=aita,j+ak, b=bi+b,j+b,k d·b=(axi+a1j+a2k)·(bi+b,j+b2k) 讠与k,∴·j=j·k=k·i=0, i闩j=k=1, .i·i=j·j=k·k=1. i·b=a、.b.+a.b.+a.b 数量积的坐标表达式
a a i a j a k, x y z = + + b bx i by j bzk 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k, ⊥ ⊥ i j = j k = k i = 0, | i |=| j |=| k |= 1, i i = j j = k k = 1. x x y y z z a b = a b + a b + a b 数量积的坐标表达式 数量积的坐标表达式
nb= ab cos→c0s0=a.b l‖b a.b. tab tab cos 6= 2 2 +a.+a b.-+b.+b 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 d⊥b∈→abx+a,bn+a2b2=0
a b | a || b | cos = , | || | cos a b a b = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为