第二章导数与微分 (5) dy sint-tcost (6)f(0)=1 n( (7) xsin(x 3.(1)B (2)B (3)C (5)B (6)B (7)A 4.(1)-√1+t(2)1(3)=(X+2e2)dr X< >0 (5)x+y=e(6)f(x)= ∫(0)=0x (7)a+b f(0)=1 五自测题 1填空题 (1)设y=e()f(e),其中∫(x)有连续的导函数,则d=() (2)设f(x)在x=点可导,且f(a)=2n,则1m(b)-f(a) b→ a sin b-sina (3)已知(儿=,则f()=() (4)设f(x)=sinx,则f((x)=() x=1+t2 (5)曲线 在t=2处的切线方程是(),法线方程是() 2选择题 (1)f(x)=(x2-x-2)|x3-x的不可导点的个数是()。 A.3B.2C.1 D.0 (2) 则f(x)在x=0处是()。 A.极限不存在 B极限存在但不连续 C连续但不可导 D可导 (3)设F(x)=f(g(x)/(2)=3g(2)=58(2)=4(2)=-2及f(5)=1 则F(2)为() B11 D.12 (4)如果4[/2x)=x2则f(x)()
第二章导数与微分 35 （5） 2 3 2 4 sin cos t t t t dx d y − = （6） 0 1 f（/ ）＝ （7） sin( ) sin( ) e x xy y xy e x y x y − − + + 3.（1） B （2）B （3）C （4）B （5） B （6）B （7）A 4．（1）− 1+ t 4 1 （2）1 （3）dy e dx x y x y ( )( 2 ) 1 2 1 = + − （5） 2 π x + y = e （6） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = > < = + − (0) 1 (0) 0 0 0 2 0 ( ) / / / f f x e x x x f x （7）a＋b 五 自测题 1.填空题 （1）设 ( ) f ( x) x y e f e − − = ，其中 f (x) 有连续的导函数，则 dy=（ ） （2）设 f (x) 在 x=a 点可导，且 f (a) 2a / = ，则 ( ) sin sin ( ) ( ) lim = − − → b a f b f a b a （3）已知 [ ( )] x dx x d f 1 1 2 = ，则 ( ) ( ) 2 / 1 f = （4）设 ( ) sin , ( ) ( ) ( ) / f x = x 则f f x = （5）曲线 2 1 3 2 = ⎩ ⎨ ⎧ = = + t y t x t 在 处的切线方程是（ ），法线方程是（ ）。 2.选择题 （1） ( ) ( 2) | | 2 3 f x = x − x − x − x 的不可导点的个数是（ ）。 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 （2） ( ) 0 0 0 | |sin 2 0 1 = ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ f x x x x x x 则 在 处是（ ）。 A.极限不存在 B.极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 （3）设 ( ) ( ) () ( ) , 2 3, (2) 5, (2) 4, (2) 2 (5) / / / F x = f g x f = g = g = f = − 及f =11， 则 ( ) 2/ F 为（ ）。 A.44 B.11 C.－8 D.12 （4）如果 dx d [ ] f ( ) 2x = x 2 ,则f / ( ) x 为（ ）
第二章导数与微分 D 2 (5)设f(x)在x=a处可导,则∫(x)在x=a处不可导的充分条件是() A.f(a)=0且f(a)=0B.f(a)=0且f(a)≠0 C.f(a)>0且f(a)>0D.f(a)<O且f(a)<0 3.主观题 (1) y=tan(e2-2+1) +arctan *Ry (2)2y=1+xe求|=0 (3) (4)设/()=-{mg+e x<0 且对任意xa,bf(x)存在,求ab ax+b x≥0 (5)设f(x)在x=0附近有定义,且满足|f(x)≤x2,证明f(x)在x=0处可导,且 (6)讨论f(x)= 在x=0处的可导性 0 nx求f 自测题答案 (1)-e(x)e-)+ef(e-) (2) (3)-1 (4)cos(si 2.(1)B (2)C (3)A: (4)A (5)B 3(1)y=-2e2sc(e2+}-:(2)y(0)= (3)ay a(1-cost) (4)a=-1,b=-I/2 (7)(-1y-2(n-2)
第二章导数与微分 36 A. 8 2 x B. 4 2 x C.2 x D. 2 2 x （5）设 f (x) 在 x = a 处可导，则| f (x) |在 x = a 处不可导的充分条件是（ ）。 A. ( ) 0 ( ) 0 / f a = 且f a = B. ( ) 0 ( ) 0 / f a = 且f a ≠ C. ( ) 0 ( ) 0 / f a > 且f a > D. ( ) 0 ( ) 0 / f a < 且f a < 3.主观题 （1） tan( 1) arctan , . 2 1 / y e y x = − x + + 求 （2） 0 2 1 | = + dx x= xy dy y xe 求 （3） ( ) ⎩ ( ) ⎨ ⎧ = − = − + 2 2 1 cos sin 2 dx d y y a t x a t t e 求 （4）设 ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≥ + < = 0 0 1 1 ax b x arctg e x f x x x 且对任意 x a b f (x) / , , . 存在，求 a,b （5）设 f (x) 在 x = 0 附近有定义，且满足 ( ) 2 | f x |≤ x ，证明 f (x) 在 x = 0 处可导，且 ( ) 0 0 / f = （6）讨论 ( ) 在 0处的可导性 0 0 1 0 1 = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − x x x f x x e x （7） ( ) ln ( ) 1 n y = x x 求f 自测题答案 1.（1） ( ) e [f (x)f (e ) e f (e )]dx − f x −x −x −x − + / / （2） a a cos 2 ； （3）－1； （4）cos(sin x) 2.（1）B； （2）C ； （3）A； （4）A ； （5）B 3.（1） ( ) 2 1 / 2 2 2 1 2 sec 1 x x x y e e + − − = − + − ； （2） ( ) 2 / 1 y 0 = ； （3） ( ) 2 2 2 1 cos 1 dx a t d y − = − ； （4）a=－1，b＝－∏/2 ； （7）( 1) ( 2)! 2 − ⋅ − − n n
第三章微分中值定理与导数的应用 第三章微分中值定理与导数的应用 、基本要求 1、理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理证明有关命题及构造相应 的辅助函数 2、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 3、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,以及能够判断方程的 根、证明函数不等式:掌握函数最大值和最小值的求法(如确定目标函数和约東条件、判定所讨论区间) 及其在几何、物理、经济等方面上的简单应用 4、会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点,会求曲线的铅直渐近线、斜渐近线及水 平渐近线,能够利用导数来把握函数的性态,借此描绘函数的图形; 5、了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径 二、主要内容 (一)微分中值定理 费尔马( Fermat)定理若函数∫(x)满足条件(1)在x0的某邻域内有定义,且在此邻域内恒有 f(x)sS∫(x)或f(x)≥f(x0);(2)在x处可导,则有∫(x0)=0. 罗尔(Role)定理若函数∫(x)满足条件(1)在闭区间{a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导; (3)∫(a)=∫(b),则在(a,b)至少存在一个5,使得∫()=0 拉格朗日( Lagrange)中值定理设函数∫(x)满足条件(1)在闭区间[a,b上连续(2)在开区间(a,b) 内可导,则在(a,6)内至少存在一点,使得∫()=f(6)-f(a) a 柯西( Cauchy)中值定理设函数f(x),g(x)满足条件(1)在闭区间[ab]上连续(2)在开区间(a,b) f(s f(b)-fe 内可导,且g(x)≠0,则在(6)内至少存在一点5,懂(5)g(b)-ga) )洛必达 Hospital法则 洛必达法则一(型) 若在某极限过程中(下面以x→a为例)有(1)f(x)→0,g(x)→>0;(2)f(x),g(x)在x=a的某去 心邻域内可导,g(x)≠0,(3)mf(x) 。4(A为有限数或∞),则有linf(x)=m!(x=A x→ag(x)xag'(x) 洛必达法则二(—型 若在某极限过程中(下面以x→>a为例)有(1)f(x)→∞,8(x)→>∞;(2)f(x),8(x)在x=a的某去
第三章 微分中值定理与导数的应用 37 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、基本要求 1、理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理证明有关命题及构造相应 的辅助函数； 2、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法； 3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，以及能够判断方程的 根、证明函数不等式；掌握函数最大值和最小值的求法（如确定目标函数和约束条件、判定所讨论区间） 及其在几何、物理、经济等方面上的简单应用． 4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求曲线的铅直渐近线、斜渐近线及水 平渐近线，能够利用导数来把握函数的性态，借此描绘函数的图形； 5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． 二、主要内容 (一) 微分中值定理 费尔马( Fermat ) 定理 若函数 f (x)满足条件 (1) 在 x0 的某邻域内有定义，且在此邻域内恒有 f (x) ≤ ( ) x0 f 或 f (x) ≥ ( ) 0 f x ；(2)在 x0 处可导，则有 ( ) 0 f ′ x =0． 罗尔( Rolle ) 定理 若函数 f (x) 满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b) 内可导; (3) f (a) = f (b),则在(a,b) 至少存在一个ξ ，使得 f ′(ξ ) = 0 ． 拉格朗日( Lagrange )中值定理 设函数 f (x) 满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b) 内可导，则在(a,b) 内至少存在一点ξ ，使得 b a f b f a f − − ′ = ( ) ( ) (ξ) ． 柯西( Cauchy )中值定理 设函数 f (x) ， g(x) 满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b) 内可导，且 g′(x) ≠ 0，则在(a,b) 内至少存在一点ξ ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − = ′ ′ ξ ξ ． (二) 洛必达(L'Hospital)法则 洛必达法则一（ 型 0 0 ） 若在某极限过程中(下面以 x → a 为例)有 (1) f (x) → 0, g(x) → 0; (2) f (x), g(x) 在 x = a 的某去 心邻域内可导， g′(x) ≠ 0; ⑶ A g x f x x a = ′ ′ → ( ) ( ) lim （A 为有限数或∞），则有 A g x f x g x f x x a x a = ′ ′ = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ． 洛必达法则二（ 型 ∞ ∞ ） 若在某极限过程中（下面以 x → a 为例）有 (1) f (x) → ∞, g(x) → ∞; (2) f (x), g(x) 在 x = a 的某去
第三章微分中值定理与导数的应用 心邻域内可导,g(x)≠0,(3im/(x)=A(A有限数或,则有Im1(x)=1m/(x)= 其他类型的未定式的极限 对于0·∞,∞-∞,1°,∞0,0°型的未定式可以利用洛必达法则求极限,但须先化为型或一型后再 0 应用洛必达法则,如利用limv(x)=exp(imv(x)ln(x)= exp(lin In(x) );或取对数的方法即可 (三、泰勒( Taylor)公式 泰勒定理设函数∫(x)在点x0的某邻域内具有n+1阶导数,则对该邻域内的任意点x(x0≠x),在 x0与x之间至少存在一点5,使得 f(x)=f(x)+f(x(x-x)+元f(xx-x)+…+m((x-x)”+E(x),其中 R(x1(m+(x-x)y*.称该公式为泰勒公式,特别当x=0时称为麦克劳林( Maclaurin)公式 (四)、函数的单调性与曲线的凹凸性 函数单调性的判定定理 设函数y=f(x)在{a,bl上连续,在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,那末函数y=f(x)在a,b上单调增加 (2)如果在(a,b)内∫'(x)<0,那末函数y=f(x)在{a,bl上单调减少 曲线的凹凸与拐点 设()在区间上连续,若对1上任意两点x,x,恒有(+xf(x)+/(x),那末称f(x)在1上的图形 是(向上)凹的; 若对区间I上任意两点x1,x2,恒有f( +x21、f(x1)+f(x2) 那末称f(x)在I上的图形是(向上)凸的 定理1如果f(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数,若在(a,b内 (1)f"(x)>0.,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)f"(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的 注:曲线的凹凸性还可以利用曲线与其切线的相对位置来刻画:这几个定义及定理1是相互等价的 定理2如果f(x)在(x0-6,x0+6)内存在二阶导数则点(x,f(x)是拐点的必要条件是fx)=0
第三章 微分中值定理与导数的应用 38 心邻域内可导， g′(x) ≠ 0; ⑶ A g x f x x a = ′ ′ → ( ) ( ) lim (A 有限数或∞ )，则有 A g x f x g x f x x a x a = ′ ′ = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ． 其他类型的未定式的极限 对于 0 0 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞,1 , ∞ ,0 ∞ 型的未定式可以利用洛必达法则求极限，但须先化为 0 0 型或 ∞ ∞ 型后再 应用洛必达法则，如利用 ) ( ) 1 ln ( ) lim ( ) exp(lim ( )ln ( )) exp(lim ( ) v x u x u x v x u x x a x a v x x→a → → = = ; 或取对数的方法即可． (三)、泰勒（Taylor）公式 泰勒定理 设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域内具有 n +1阶导数，则对该邻域内的任意点 x ( x ≠ x 0 )，在 x0 与 x 之间至少存在一点ξ ，使得 ( ) ( ), ! ( ) ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 '' 0 0 ' 0 x x R x n f x f x f x f x x x f x x x n n n = + − + − +"+ − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ξ ．称该公式为泰勒公式，特别当 x0 = 0时称为麦克劳林（Maclaurin）公式. (四)、函数的单调性与曲线的凹凸性 函数单调性的判定定理 设函数 y = f ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b )内可导 . (1) 如果在 ( a , b )内 f ′( x ) > 0，那末函数 y = f ( x )在[a , b ]上单调增加； (2) 如果在 (a , b )内 f ′( x ) < 0，那末函数 y = f ( x )在[a , b]上单调减少 ． 曲线的凹凸与拐点 设 在区间 上连续 若对 上任意两点 恒有 那末称 f x 在 I 上的图形 x x f x f x f x I I x x f , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 + < + 是(向上) 凹的; , ( ) ( ) ; ( ) ( ) 若对区间 上任意两点 , ,恒有 ( ) 那末称 f x 在 I 上的图形是 向上 凸的 x x f x f x I x x f 2 2 1 2 1 2 1 2 + > + 定理 1 如果f (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,若在(a,b)内 (1) f ′′(x) > 0,则f (x)在[a,b]上的图形是凹的;(2) f ′′(x) < 0,则f (x)在[a,b]上的图形是凸的; 注：曲线的凹凸性还可以利用曲线与其切线的相对位置来刻画；这几个定义及定理 1 是相互等价的． 定理 2 如果 f (x) 在( , ) x0 − δ x0 + δ 内存在二阶导数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 f′′(x0)=0．
第三章微分中值定理与导数的应用 (五)、函数的极值与最值 定理一、(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且在x处取得极值那末必定∫(x0)=0 定理二、(第一充分条件) (1)如果x∈(x-,x)有f(x)>0而x∈(x0,x+o),有f(x)<0,则f(x)在x处取得极大值; (2)如果x∈(x0-δ,x),有∫(x)<0,而x∈(x0,x0+)有∫(x)>0,则∫(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x0)及x∈(x0,x0+)时,f(x)符号相同,则f(x)在x处无极值 定理三、(第二充分条件) 设f(x)在x处具有二阶导数,且f(x0)=0,f"(x0)≠0,那末 (1)当f"(x0)<0时,函数∫(x)在x处取得极大值; (2)当∫"(x0)>0时,函数∫(x)在x处取得极小值 求极值的步骤 1)求导数f(x), (2)求驻点,即方程f(x)=0的根并求不可导的点 (3)检查f(x)在这些点左右附近的符号变化,对于f"(x)存在但不等于零的驻点,还可由f"(x) 正负判定这些点是否极值点是极大、小值点 (4)求极值 求最大值、最小值问题 求最值的步骤如下: (1)求驻点与不可导的点 (2)求区间端点、驻点和不可导点处的函数值,比较这些值的大小,哪个值大那个就是最大值,哪个值小那 个就是最小值 注意区间是开区间或无穷区间,而区间内只有一个极值的情形 函数图形的描绘 利用函数的性态描绘函数的图形,其主要步骤如下: (1)确定函数y=∫(x)的定义域,讨论函数的连续性、奇偶性、周期性等性态 (2)求一阶导数f(x)和二阶导数∫"(x),并求使得f(x)=0和f"(x)=0的点与不存在的点;用这些点把 函数的定义域划分成几个部分区间;列表讨论∫(x)、∫"(x)在这些区间内的符号,并由此判断∫(x)在哪 个区间上是增是减,在哪个区间上是凹是凸,在哪点处凹凸性发生变化,又在哪点处取得极值等 (3)确定函数图形的铅直渐近线:斜渐近线以及水平渐近线 (4)综合以上性态,只要描出少量的关键点(譬如:曲线与坐标轴交点、极值点、拐点等)即可 (七、曲率(略) 例题分析 (一)、微分中值定理 【例1】已知f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内∫"(x)存在,又连结A(a,f(a),B(b,∫(b)两点的直线
第三章 微分中值定理与导数的应用 39 (五)、函数的极值与最值 定理一、(必要条件) 设 f (x) 在点 0 x 处具有导数,且在 0 x 处取得极值,那末必定 f ′(x0 ) = 0 . 定理二、(第一充分条件) (1) 如果 ( , ), 0 0 x∈ x −δ x 有 f ′(x) > 0;而 ( , ) x∈ x0 x0 +δ ,有 f ′(x) < 0 ,则 f (x) 在 0 x 处取得极大值； (2) 如果 ( , ), 0 0 x ∈ x − δ x 有 f ′(x) < 0; 而 ( , ) x ∈ x0 x0 + δ 有 f ′(x) > 0 ，则 f (x) 在 0 x 处取得极小值； (3) 如果当 ( , ) 0 0 x ∈ x − δ x 及 ( , ) x ∈ x0 x0 + δ 时, f ′(x) 符号相同, 则 f (x) 在 0 x 处无极值． 定理三、(第二充分条件) 设 f (x) 在 0 x 处具有二阶导数,且 f ′(x0 ) = 0 , f ′′(x0 ) ≠ 0 , 那末 (1) 当 f ′′(x0 ) < 0时, 函数 f (x) 在 0 x 处取得极大值； (2) 当 f ′′(x0 ) > 0时, 函数 f (x) 在 0 x 处取得极小值． 求极值的步骤: (1) 求导数 f ′(x); (2) 求驻点，即方程f′(x)= 0的根,并求不可导的点； (3) 检查 f ′ (x)在这些点左右附近的符号变化 , 对于 f ′′ (x) 存在但不等于零的驻点，还可由 f ′′ (x) 正负判定这些点是否极值点,是极大、小值点； (4) 求极值． 求最大值、最小值问题 求最值的步骤如下： (1) 求驻点与不可导的点； (2)求区间端点、驻点和不可导点处的函数值，比较这些值的大小，哪个值大那个就是最大值，哪个值小那 个就是最小值； 注意区间是开区间或无穷区间，而区间内只有一个极值的情形． 函数图形的描绘 利用函数的性态描绘函数的图形，其主要步骤如下： (1) 确定函数 y = f (x)的定义域，讨论函数的连续性、奇偶性、周期性等性态； (2) 求一阶导数 f ′(x) 和二阶导数 f ′′(x)，并求使得 f ′(x) = 0 和 f ′′(x) = 0 的点与不存在的点；用这些点把 函数的定义域划分成几个部分区间；列表讨论 f ′(x) 、 f ′′(x)在这些区间内的符号，并由此判断 f (x) 在哪 个区间上是增是减，在哪个区间上是凹是凸，在哪点处凹凸性发生变化，又在哪点处取得极值等； (3) 确定函数图形的铅直渐近线；斜渐近线以及水平渐近线； (4) 综合以上性态，只要描出少量的关键点(譬如：曲线与坐标轴交点、极值点、拐点等)即可． (七)、曲率（略） 三、例题分析 (一)、微分中值定理 【例 1】已知 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内 f ′′( x) 存在，又连结 A(a, f (a)), B(b, f (b))两点的直线