章函数与极限 解:要使f(x)在x=0处连续,只需im(x)=lmm(+2x=lm2x_n,=f(0) 又f(0)=a,故a=2,故当a=2时,f(x)在x=0连续 例33设f(x)=1mx2n1+ax2+b是连续函数,求a,b的值 解:当|xk1时/(x)=1mx+a+bx=ax2+bx 当|x|>1时 当x=1时,f(1)=(1+a+b) 当x=-1时,f(-1)=(-1+a-b) x f(x)={1 +a+ (-1+a-b) 1分段点为x=±1 因为f(x)在x=1处连续,故f(1+0)=f(1-0)=f(1)即1=a+b=(1+a+b) 又因为f(x)在x=-1处连续,故f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)即 a-b=-1= (-1+a-b) 故a=0.b=1 四练习题 是非题(判断下列各题是否正确,正确在题后括号打“√”,错误打“×”) (1)若f(x)的定义域是[0,aka>0),则f(x)+f(-x)的定义域是[a,d] (2)设数列{xn}满足:VE>0,3无穷多个n,使|xn-Ak<E成立,则imxn=A() (3)若f(x)>g(x),imf(x)=A,limg(x)=B,则有A>B() (4) lim x arctan - lim x lim arctan -=0,( (5)若f(x)在整个实数轴上连续,则f(x)在整个实数轴上有界() 2.填空题(将答案填在各题的横线上) (1)若f(x)={xx<0则几[(x)= (2)im n +n+1 +n+2
第一章 函数与极限 解： 要使 f ( x) 在 x = 0 处连续，只需 2 (0) 2 lim ln(1 2 ) lim ( ) lim 0 0 0 f x x x x f x x x x = = = + = → → → 又 f (0) = a ，故 a = 2 ，故当 a = 2 时， f ( x) 在 x = 0 连续 例 33．设 1 ( ) lim 2 2 1 2 + + + = − →∞ n n n x x ax bx f x 是连续函数，求 a, b 的值 解： 当| x |< 1时 ax bx x x ax bx f x n n n = + + + + = − →∞ 2 2 2 1 2 1 ( ) lim 当| x |> 1 时 x x x x b x a f x n n n n 1 1 1 ( ) lim 2 1 2 3 2 2 = + + + = − − − →∞ 当 x = 1 时， (1 ) 2 1 f (1) = + a + b 当 x = −1 时， ( 1 ) 2 1 f (−1) = − + a − b 即 ( ) ⎪ ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + − = − = ± + + = > + < = 1 , 1 1 2 1 1 , 1 2 1 , 1 1 , 1 ( ) 2 a b x x a b x x x ax bx x f x 分段点为 因为 f ( x) 在 x = 1 处连续，故 f (1 + 0) = f (1 − 0) = f (1) 即 (1 ) 2 1 1 = a + b = + a + b 又因为 f ( x) 在 x = −1 处连续，故 f (−1 + 0) = f (−1 − 0) = f (−1) 即 ( 1 ) 2 1 a − b = −1 = − + a − b 故 a = 0, b = 1 四 练习题 1．是非题（判断下列各题是否正确，正确在题后括号打“√”，错误打“×”） （1）若 f ( x) 的定义域是[0, a )(a > 0) ，则 f ( x) + f (− x) 的定义域是[− a, a] （ ） （2）设数列{x n }满足：∀ε > 0, ∃ 无穷多个 n ，使| x − A |< ε n 成立，则 x n A （ ） n = →∞ lim （3）若 f ( x) > g ( x), lim f ( x) = A, lim g ( x) = B ，则有 A > B （ ） （4） 0 1 lim lim arctan 1 lim arctan 0 0 0 = ⋅ = → → → x x x x x x x ，（ ） （5）若 f ( x) 在整个实数轴上连续，则 f ( x) 在整个实数轴上有界 （ ） 2．填空题（将答案填在各题的横线上） （1）若 则 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 0 ( ) 2 x x x x f x f [f ( x)] = （2） ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + →∞ + + n n n n n n n n n 2 2 2 2 2 1 1 lim " 20
章函数与极限 (3)设函数f(x)=a(a>0,a≠1),则mn1n[(,(2)…(m= (4)已知当x→0时,(1+ax2)3-1与cosx-1是等价无穷小,则常数a= COSx x≥0 (5)设a>0,且()=x+2 a-√a-x 当a为_时,x=0是f(x) 0 的间断点 (6) lim x sin In(1+-)-sin In(1+/ (7)对于函数f(x)=ln(cosx)x-2,应补充定义f(0 时,才能使函数在点x=0 连续 3.选择题 (1)设数列xn与yn满足 lim xy=0,则下列断言正确的是() (A)若xn发散,则yn必发散 (B)若x无界,则yn必有界 (C)若xn有界,则y,必为无穷小(D)若1为无穷小,则y必为无穷小 (2)当x→1时,函数 ex-l的极限() (A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞ (3)极限回12×2 2n+1 的值是() n2×(n-1)2 (A)0(B)1(C)2(D)不存在 (4)设im(x=1x=2)x=3Xx=4)x=5)=B,则a,B的数值为( (3x-2)“ (4)a=1B=1(B)a=5,B=1(C)a=5,B=1(D)均不对 (5)设f(x)=2x+32-2,则当x→>0时() (A)f(x)是x的等价无穷小 (B)∫(x)与x是同阶但非等价无穷小 (C)f(x)是比x较低阶的无穷小(D)∫(x)是比x较高阶无穷小 (6)设lim +x)(1+2x(1+3x)+a =6,则a的值为() (A)-1(B)1(C)2(D)3 (7)函数∫(x)在点x处连续的充要条件是x→x时() (A)f(x)是无穷小 (B)f(x)有界 (C)f(x)=f(x0)+a(x)(其中α(x)→0,x→x)
第一章 函数与极限 （3）设函数 f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1) ，则 [ ] ⋅ = → ∞ ln (1) (2) ( ) 1 lim 2 f f f n n n " （4）已知当 x → 0 时，(1 ) 1 3 1 2 + ax − 与cos x − 1 是等价无穷小，则常数 a = （5）设a > 0 ，且 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − − ≥ + = 0 0 2 cos x x a a x x x x f x 当a 为 _____ 时， x = 0 是 f ( x) 的间断点 （6） = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + →∞ ) 1 ) sin ln(1 3 lim sin ln(1 x x x x （7）对于函数 f ( x) = ln(cos x) x −2 ，应补充定义 f (0) = 时，才能使函数在点 连续 x = 0 3．选择题 （1）设数列 x n 与 y n 满足 lim = 0 →∞ n n n x y ，则下列断言正确的是（ ） （A）若 x n 发散，则 y n 必发散 （B）若 x n 无界，则 y n 必有界 （C）若 x n 有界，则 y n 必为无穷小 （D）若 n x 1 为无穷小，则 y n 必为无穷小 （2）当 x → 1 时，函数 1 2 1 1 1 − − − x e x x 的极限（ ） （A）等于 2 （B）等于 0 （C）为∞ （D）不存在但不为∞ （3）极限 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × − + + + × + ×2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 2 3 5 1 2 3 lim n n n " 的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在 （4）设 β α = − − − − − − →∞ (3 2) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) lim x x x x x x x ，则α , β 的数值为（ ） （A） 3 1 α = 1, β = （B） 3 1 α = 5, β = （C） 5 3 1 α = 5, β = （D）均不对 （5）设 f ( x) = 2 x + 3 x − 2 ，则当 x → 0 时（ ） （A） f ( x) 是 x 的等价无穷小 （B） f ( x) 与 x 是同阶但非等价无穷小 （C） f ( x) 是比 x 较低阶的无穷小 （D） f ( x) 是比 x 较高阶无穷小 （6）设 6 (1 )(1 2 )(1 3 ) lim0 = + + + + → x x x x a x ，则a 的值为（ ） （A）-1 （B）1 （C）2 （D）3 （7）函数 f ( x) 在点 x 0 处连续的充要条件是 x → x 0 时（ ） （A） f ( x) 是无穷小 （B） f ( x) 有界 （C） ( ) ( ) ( ) 0 f x = f x + α x （其中 0 α ( x) → 0, x → x ） 21
章函数与极限 (D)f(x)在点x处的左、右极限皆存在且相等 4.主观题 设3f(x)+ 求 x 2.求下列极限 (1)lm(x+2-√x2-2) (2)im/1 一+…… nn (3)lim 3 (4) 3 sin x+x cos 1 (5)lm√2”+4"+6″+…+20 (6)li x→0(1+cosx)ln(1+x) 3.设a>0,a1>0,a ),(n=12…)求证: lim a存在,并求之 tan r 0 4.设函数(x)={ arcsin- 问a为何值时,函数∫(x)在x=0处连续? x≤0 5.试确定正整数n,使得当x→0时,(1-cosx)ln(1+x2)是比 x sin x"高阶的无穷小 而 x sin x"是比(ex-1)高阶的无穷小 x arctan x-1,求函数y的间断点并判断其类型 7.设f(x)在[,b]上连续,且a<x1<x2<…<xn<b,c,(i=1,2,…,n)为任意正数 则在(,b)内至少落在一点5,使r()=(x)+e2/(x2)++en/(xn) C1+c2+…+Cn 谷案与提示 1.(1) (3)×(4)×(5) 2.(1 )xx<o (2)1 (3)la(4)3 2(5)a>0且a≠1 (6)2 (7)-1 3.(1)D(2)D(3)B(4)C(5)B(6)A(7)C
第一章 函数与极限 （D） f ( x) 在点 x 0 处的左、右极限皆存在且相等 4．主观题 1．设 x x f x f ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 3 ( ) ，求 f ( x) 2．求下列极限 （1）lim ( 2 2 ) 2 2 1 + − − → x x x （2） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + →∞ 2 2 2 1 2 lim n n n n n " （3） x x x x 2 sin 5 3 3 5 lim 2 ⋅ + + →∞ （4） ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + → | | sin 1 2 lim 4 1 0 x x e e x x x （5） n n n n n n lim 2 + 4 + 6 + + 20 →∞ " （6） (1 cos ) ln(1 ) 1 3 sin cos lim 2 0 x x x x x x + + + → 3．设a > 0 ， a1 > 0 ， ( ), ( 1,2, ) 2 1 +1 = + n = " a a a a n n n 求证： n 存在，并求之 n a →∞ lim 4．设函数 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > − = 0 0 2 arcsin 1 2 tan ae x x x e f x x x 问 a 为何值时，函数 f ( x) 在 x = 0 处连续？ 5．试确定正整数 n ，使得当 时， 是比 高阶的无穷小， 而 是比 高阶的无穷小 x → 0 (1 cos ) ln(1 ) 2 − x + x n x sin x n x sin x ( 1) 2 x e − 6．设 x x x y 2 sin 1 1 arctan π − = ，求函数 y 的间断点并判断其类型 7．设 f ( x) 在[a, b]上连续，且 a < x1 < x 2 < " < x n < b ，c (i 1,2, , n) i = " 为任意正数， 则在(a, b)内至少落在一点ξ ，使 n n n c c c c f x c f x c f x f + + + + + + = " " 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) (ξ ) 答案与提示 1．（1）× （2）× （3）× （4）× （5）× 2．（1） （2） ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < 0 0 4 x x x x 2 1 （3） ln a 2 1 （4） 2 3 （5） a > 0 且 a ≠ 1 （6）2 （7） 2 1 − 3．（1）D （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C 22
章函数与极限 4.1.(34(提示:令x=-将换为x,与已知等式联立) 2.(1)0(2)1(3)6(4)1(提示:考虑左、右极限) (5)20(提示:利用夹逼准则)(6)3 3.√a(提示:利用单调有界准则) n 6.x=0为可去间断点,x=1为跳跃间断点,x=2k(k=±1,±2…)为无穷间断点,其余 点处处连续 7.利用闭区间上连续函数的最大最小值定理和介值定理 五.自测题 1.填空题(将答案填在各题的横线上) (1)已知f(x)=sinx,/[(x)]=1-x2,则g(x) 的定义域为 (2)lim(1+x)(1+x2)…(1+x2)= (3)若当x→0时,e2-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小,则a=b= 2x+e2a-1 (4)若 f(x)= x≠0在(-∞,+∞)上连续,则a (5)已知in =A(≠0,≠∞),则A k 2.选择题 (1)下列命题中正确的是() (A)有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 (B)有界量和无穷大量的乘积仍为无穷量 (C)两无穷大量的和仍为无穷大量 (D)两无穷大量的差为零 (2)设x→0时,emx-ex是与xn同阶的无穷小,则n为() (A)1(B)2(C)3(D)4 (3)设对任意的x,总有q(x)≤f(x)≤g(x),且lm区(x)-9(x)]=0 则imf(x)() (A)存在且一定等于零 (B)存在但不一定为零 (C)一定不存在 (D)不一定存在 (4)设函数f(x)=-x在(+)内连续,且Imf(x)=0,则常数a,b满足( a+e (A)a<0,b<0(B)a>0,b>0(C)a≤0,b>0(D)a≥0,b<0 (5)设f(x)和(x)在(∞,+∞)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,q(x)有间
第一章 函数与极限 4．1． x f x x 8 1 8 3 ( ) = − （提示：令 u x 1 = 将u 换为 x ，与已知等式联立） 2．（1）0 （2） 2 1 （3） 5 6 （4）1（提示：考虑左、右极限） （5）20（提示：利用夹逼准则） （6） 2 3 3． a （提示：利用单调有界准则） 4．-2 5． n = 2 6． x = 0 为可去间断点， x = 1 为跳跃间断点， x = 2k (k = ±1,±2") 为无穷间断点，其余 点处处连续 7．利用闭区间上连续函数的最大最小值定理和介值定理 五．自测题 1．填空题（将答案填在各题的横线上） （1）已知 f ( x) = sin x, f [ ] ϕ ( x) = 1 − x 2 ，则ϕ ( x) = 的定义域为 （2） + + + = → +∞ lim (1 )(1 ) (1 ) 2 2 n x x x n " （3）若当 x → 0 时， ( 2 1) 是比 高阶的无穷小，则 2 e − ax + bx + x 2 x a = b = （4）若 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ + − = 0 0 sin 2 1 ( ) 2 a x x a x e f x ax 在(− ∞,+∞ )上连续，则 a = （5）已知 ( 0, ) ( 1) lim 1990 = ≠ ≠ ∞ → ∞ − − A n n n k k n ，则 A = ，k = 2．选择题 （1）下列命题中正确的是（ ） （A）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （B）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷量 （C）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零 （2）设 x → 0 时，e tan x − e x 是与 x n 同阶的无穷小，则 n 为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）设对任意的 x ，总有ϕ ( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x) ，且 lim [ ( ) − ( )] = 0 →∞ g x x x ϕ ， 则 lim f ( x) （ ） x→∞ （A）存在且一定等于零 （B）存在但不一定为零 （C）一定不存在 （D）不一定存在 （4）设函数 bx a e x f x + ( ) = 在(− ∞,+∞ )内连续，且 lim ( ) = 0 → −∞ f x x ，则常数a, b 满足（ ） （A） a < 0, b < 0 （B） a > 0, b > 0 （C）a ≤ 0, b > 0 （D） a ≥ 0, b < 0 （5）设 f ( x) 和ϕ ( x) 在(− ∞,+∞ )内有定义， f ( x) 为连续函数，且 f ( x) ≠ 0 ，ϕ ( x) 有间 23
章函数与极限 断点,则() (A)pf(x)必有间断点(B)[q(x)2必有间断点 (C)o(x)必有间断点(D)9(x)必有间断点 f∫(x) 3.主观题 (1)已知f(x)=e,/[(x)=1-x,(x)≥0,求(x)并写出它的定义域 x sin (2)求极限lim x和 a)*(x+b)+ x→0sinx x+a+b)x+ (3)求极限im(2sinx+e (4)求a,b,使当x→-∞时,f(x)=√x2-4x+5-(ax+b)为无穷小 (5)设f(x)= 1试确定a,b的值,使f(x)在 a+arccosx -1<x<I x=-1处连续 (6)求函数f(x)=(1+x)7在(0,2x)内的间断点,并判断其类型 (7)设f(x)在上连续,f()=f(1),证明:对自然数n≥2必有5∈(0),使得 ∫(5)=∫(5+-) 答案与提示 1.(1) arcsin(1-x2), <1 (2) x>1或 (3)a=1,b=0 (4)-2: (5) 1991 2.(1)A(2)C(3)D(4)D(5)D 3.(1)9(x)=√n(1-x),x≤0:(2)0,e);(3)e°; (4)a=-1b=2:(5)a=-n,b=0:(6)间断点为x兀3,A
第一章 函数与极限 断点，则（ ） （A）ϕ[ f ( x)] 必有间断点 （B） 必有间断点 2 [ϕ ( x)] （C） f [ϕ ( x)] 必有间断点 （D） ( ) ( ) f x ϕ x 必有间断点 3．主观题 （1）已知 ( ) , [ ] ( ) 1 , ( ) 0 ，求 2 f x = e f x = − x x ≥ x ϕ ϕ ϕ ( x) 并写出它的定义域 （2）求极限 | sin | 1 sin lim 2 0 x x x x→ 和 x a b x a x b x x a b x a x b + + + + → +∞ + + + + 2 ( ) ( ) ( ) lim （3）求极限 ( )x x x x e 2 0 lim 2 sin + → （4）求a, b ，使当 x → −∞ 时， f ( x) = x − 4 x + 5 − (ax + b 2 )为无穷小 （5）设 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + − < ≤ = − − − ∞ < < − = arccos 1 1 1 1 1 2 a x x b x x x f x 试确定 a, b 的值，使 f ( x) 在 x = −1 处连续 （6）求函数 ) 4 tan( ( ) (1 ) π − = + x x f x x 在(0,2π )内的间断点，并判断其类型 （7）设 f ( x) 在[0,1]上连续， f (0) = f (1) ，证明：对自然数 n ≥ 2 必有ξ ∈ (0,1)，使得 ) 1 ( ) ( n f ξ = f ξ + 答案与提示 1.（1）arcsin( 1 ), 2 2 2 − x − ≤ x ≤ ； （2） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∞ > = < − 0 1 1 1 1 1 1 x x x x x 或 ； （3）a = 1, b = 0 ； （4）− 2 ； （5） 1991 1 A = ， k = 1991 2．（1）A （2）C （3）D （4）D （5）D 3．（1）ϕ ( x) = ln(1 − x), x ≤ 0 ； （2）0 ，e − ( a +b ) ； （3）e 6 ； （4）a = −1, b = 2 ；（5）a = −π , b = 0 ；（6）间断点为 π π π π 4 7 , 4 5 , 4 3 , 4 x = 24