系统的零输入响应令系统输入"(t)=0，导出系统的自治方程为：t≥0x=Ax, x(O)=xo,A为nxn常阵，仿照指数函数e 1+at+a+.-22!k=ok!对系数矩阵A定义矩阵指数函数eAt I+At+A2+22!
Ø系统的零输入响应
结论3.1[零输入响应]线性时不变系统的零输入响应，即系统自治方程t≥0x=Ax, x(O)=%,的解具有如下形式t≥0Xou(t)=eAtxot≥0证明：对于自治方程x=Ax，，x(O)=,设其解是系数待定向量的一个幂级数Xou=bo+bt+b,t?+..=Ebrtf≥0k=0
结论3.1 [零输入响应]
t≥0x=Ax,x(O)=x,由于其满足将xo.代入上式可以导出：b +2b,t+3b,t*+.. = Abo + Abt+ Ab,t+八b,=AbS1h3!
173!kt≥0Xou =b=0t≥031=→b=x
关于上述零输入响应的几点讨论：1.矩阵指数函数eAf决定了零输入响应的形态包含了自由运动形态的全部信息2.当矩阵指数eAt最终趋向于0，即limeAt=0时，自由运动的轨迹最终趋向于系统的平衡点，在控制理论中称为渐进稳定3.当t，≠0时，系统零输入响应更一般的形式Xo(t)=eA(t-t0)x0,tzto
关于上述零输入响应的几点讨论：