《现代控制理论》课程教学资源——现控课件_Ch1-2 Obtaining State Space Description from I_O Description

1.2由系统输入输出导出状态空间描述ObtainingStateSpaceDescriptionfromI/ODescription通常将由输入一输出描述导出状态空间描述的问题称为实现问题（realizationproblem）。y(") +ay(r- +...+a-y+a,y=bu" +bu(m-) +..+bmju+b.uY(s) _ bos" +b,s"- +b,s"-2 +..+bm--$+bmG(s) =U(s)s" +a,sn-I +...+an-is+an实现问题归结为：通过选取适当的状态变量，确定A、B、C、D。X(t) = AX(t) + Bu(t)StatespacedescriptionofLTIsystemy(t) = CX(t) + Du(t)

1.2 由系统输入输出导出状态空间描述 Obtaining State Space Description from I/O Description •通常将由输入-输出描述导出状态空间描述的问题称为 实现问题(realization problem)。 实现问题归结为： 通过选取适当的状态变量，确 定A、B、C、D。 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 0 1 1 n n m m n n m m y a y a y a y b u bu b u b u − − − − + + + + = + + + + X(t) = AX(t) + Bu(t)  y(t) = CX(t) + Du(t) State space description of LTI system n n n n m m m m m s a s a s a b s b s b s b s b U s Y s G s + + + + + + + + + = = − − − − − 1 1 1 1 2 2 1 0 1 ( ) ( ) ( )  

1.2.1由微分方程导出状态空间描述（ObtainingStateSpaceDescriptionfromDifferential Equation)>给定下列n阶SISO线性时不变（LTI）系统：m≤ny(") +ay(n-) +.+an-y+a,y= bu(m) +bu(m-1) +..+bm-ju+bmu(1.35)结论1m=0时，n阶SIS0（1.35)对应的一个状态空间描述为：TOX0100X1X0000X2u一+2x00001×n-1boxaaian-1an-2xnXiX2V=X3

1.2.1由微分方程导出状态空间描述(Obtaining State Space Description from Differential Equation) ➢给定下列n阶SISO线性时不变（LTI）系统： ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 0 1 1 n n m m n n m m y a y a y a y b u bu b u b u − − + + + + = + + + + − − (1.35) 结论1 m=0时，n阶SISO (1.35)对应的一个状态空间描述为： u x b x x x x a a a a x x x n n n n n n n                 +                                 − − − − =                 − − − − 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0                                   = xn x x x y   3 2 1 1 0 0 0 m n 

证明Case1：当m=0时，(1.35)变为：(1.36)y(") +ay(r-l) +...+an-j+a,y= bu取n个状态变量 X,X2,,Xn，分别为 y,,…, J(n-1)，则有：x=j=X2xi=yx =j= X3X2= j两边微分xn-1 = y(n-1) = xnXn-1 = J(n-2)x, = y(n) =-any-an-ji-..-aiy(n-l) +bou(x, = y(n-I)=-anxi -an-ix2 -...-aixn +bou(1.37)(1.38)

取n个状态变量 ，分别为 ，则有 ： ( 1) , , , n y y y − 1 2 , , , n x x x 1 2 ( 2) 1 ( 1) n n n n x y x y x y x y − − −  =   =    =    = (1.37) 证明 Case 1: 当m=0时，(1.35)变为： ( ) ( 1) 1 1 0u n n n n y a y a y a y b − + + + + = − (1.36)            = − − − − + = = − − − − + = = = = = = − − − − − a x a x a x b u x y a y a y a y b u x y x x y x x y x n n n n n n n n n n n 1 1 2 1 0 0 ( 1) 1 1 ( ) ( 1) 1 2 3 1 2           两边微分 (1.38)

将（1.38)写成状态空间描述中状态方程的形式0x010AX00福X2?1.十u(1.39)0000Xn-1xboQXn--2n-companion matrix(友矩阵)：主对角线上方或者下方的元素均为1；最后一行/第一行的元素可取任意值；而其Xi余元素均为零。X201系统的输出方程为：=x =[100…：（X3(1.40).Xn

将(1.38)写成状态空间描述中状态方程的形式： u (1.39) x b x x x x a a a a x x x n n n n n n n                 +                                 − − − − =                 − − − − 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0                 系统的输出方程为：   1 2 1 3 1 0 0 0 n x x y x x x       = =           (1.40) companion matrix(友矩阵): 主对角线上方或者下方的元素均为1；最 后一行/第一行的元素可取任意值；而其 余元素均为零

状态空间描述(1.38-1.39）文Yn-m1..2DoFigure 1.5SimulationDiagram

Figure 1.5 Simulation Diagram 状态空间描述(1.38-1.39)