《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十八章 隐函数定理及其定理 §4 极值条件

(fxPy - f,Px )p,= 0这表示f的等值线p(x,y)=0f(x,y)= zof(x,y)=c与曲线β(x,J)=0在P.点P有公共切线(见图f(x,y)=zo18一12).由此推知：图18—12存在比例常数几o，满足(fx(P), f,(P))+ao(Px(P), P,(P))=(0, 0)这又表示：对于函数后页返回前页

前页 后页 返回 0 ( ) 0. x y y x P f f   − = 0 f x y z ( , ) = 0 0 0 0 0 ( ( ), ( ) ) ( ( ) , ( )) ( 0, 0). x y x y f P f P P P + =    这表示 f 的等值线 18－12). 由此推知: 0 存在比例常数  , 满足 这又表示: 对于函数 P0 0 f x y z ( , ) =  ( , ) 0 x y = f x y c ( , ) = 图 18－12 与曲线  ( , ) 0 x y = 在 点 P0 有公共切线(见图

L(x,y,a)= f(x,y)+ ap(x,y)在点（xo,yo,2）处恰好满足：Lx = f(x,y)+ax(x,y) = 0,(2)L, = f,(x,y)+ ap,(x,y) = 0,La =β(x,y) = 0.也就是说，(2)式是函数L(x,y,2)在其极值点处所满足的必要条件.由此产生了一个重要思想：通过引入辅助函数L(x,y,2)，把条件极值问题(1)转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题后页返回前页

前页 后页 返回 L x y f x y x y ( , , ) ( , ) ( , ) ,    = + 在点 ( , , ) x y 0 0 0  处恰好满足: ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0, (2) ( , ) 0. x x x y y y L f x y x y L f x y x y L x y        = + =  = + =   = =  也就是说, (2) 式是函数 L x y ( , , )  在其极值点处所 满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想: 通过引入辅助函数 L x y ( , , ),  把条件极值问题(1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题

(B)拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般目标函数和约束条件组，应引入辅助函数L(X1,X2,"",Xn,a1,22,"",am)m= f(xX1,X2,*",xn)+ E arPr(X1,X2,",xn). (3)k=1称此函数为拉格朗日函数，其中1,2,,m称为拉格朗日乘数定理18.66设上述条件极值问题中的函数f与Pk(k=1,2,,m)在区域D上有连续一阶偏导数.若后页返回前页

前页 后页 返回 (B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般 目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ). (3) m n k k n k f x x x x x x   = = +  称此函数为拉格朗日函数, 其中    1 2 , , , m 称 为拉格朗日乘数. k 定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 ( 1,2, , ) k m = 在区域 D上有连续一阶偏导数. 若 1 2 1 2 ( , , , , , , , ) L x x xn m   

(0)D 的内点 P(x(),x2((0))是该条件极值问中题的极值点，且0p10P10x1Oxn...:rank= m,0Pm0Pm0xiOxn J Po则存在m 个常数 a(),a,,…,am, 使得m(0)),x),..(,a(,a2),.,m)(x(),x2后页返回前页

前页 后页 返回 0 1 1 1 1 rank , n m m P n x x m x x                 =             (0) (0) (0) 0 1 2 ( , , , ) D 的内点 P x x xn 是该条件极值问 题的极值点, 且 (0) (0) (0) 1 2 ( , , , , n x x x (0) (0) (0) 1 2    , , , ) m (0) (0) (0) 1 2 则存在 m 个常数    , , , , m 使得

为拉格朗日函数(3)的稳定点，即它是如下n+m个方程的解：ma?fOPk = 0, i= 1,2,.,n;+ZAkax;ax; ax;k=1aLPr(Xi,X2,",xn) = 0, k =1,2,...,maak说明月 对于 n=2,m=1的情形,已在前面作了说明；对一般情形的证明，将放到二十三章的定理23.19中去进行后页返回前页

前页 后页 返回 个方程的解: 1 1 2 0, 1,2, , ; ( , , , ) 0, 1,2, , . m k k i i i k k n k L f i n x x x L x x x k m     =     = + = =         = = =     说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说 明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理 23.19 中去进行. 为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, 即它是如下 n m+