对数函数盅@=Lnz = ln|z[+iArgz春= ln |z[+i(arg z +2k元) k =0,±l,±2,:注意：1对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两北个函数值之间相差2k元i:，不是周期函数②对每一个固定的k值,可得一个单值函数，称为大学の=Lnz的一个单值分支:特别地称k=0对应的分支为对数函数的主值分支，记为の= lnz=ln|z|+iargz负数也有对数，如ln(-1) = ln / -1 /+iarg(-1)= i元
对 数 函 数 的 主 值 与 主 值 = = + Ln ln | | i Arg z z z = + + ln | | i(arg 2 z z kπ) k = 0, 1, 2, 对数函数 注意： ① 对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两 个函数值之间相差 2kπi; ② 对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为 = Ln z 的一个单值分支；特别地称k=0对应的 分支为对数函数的主值分支，记为 = ln z = + ln | | iarg z z ③ 负数也有对数，如 ln( 1) ln | 1| iarg(-1) − = − + = iπ 不是周期函数
例2求下列各式的值。来春(2) Ln(1+ V3i)n(ie)(1)元解 (1)ln(ie) = ln|ie |+iarg(ie)= 1 +=i2(2) Ln(1+ /3i) = In |1+ /3i]+i(arg(1 + /3i)+2k元北元= ln2 +i("+ 2k元)3k = 0,±1,±2,:例3大兴解下列方程.元(2) lnz = 1+ i元(l) lnz=-i"2心元2得z=e解(1）由lnz==-121+i元 = -e(2) 由 ln z = 1+ iπ得 z = eli
例2 求下列各式的值。 ln ie ( ) Ln 1 3 ( + i) 解 (1) ln ie ln | ie | iarg(ie) ( ) = + (1) (2) π 1 i 2 = + (2) Ln 1 3i ln |1 3i|+i arg(1 3i)+2k ( + = + + ) ( π) π ln 2 i( 2kπ) 3 = + + 例3 解下列方程 π (1) ln i ; 2 z = − (2) ln 1 i z = + π 解 (1) π ln i 2 由 z = − ,得 π i 2 z e − = = −i (2) 由ln 1 i z = + π得 1 iπ z + = e = −e k = 0, 1, 2
对数函数的性质浴?当z = Rez= x>0 时, ln|z= ln x,argz = 0,这时对数函数的主值lnz就是原实变数对数函数lnxLnz = lnz +2k元i,k = 0,±l,±2,.2注意，这些等式Ln(z,z 2) = Ln zi + Ln z23北右端必须取适当的分支才能等于= Lnz, - Lnz 2Ln左端某一分支。大学若仅对一分支结论是不一定成立的。例如25元i7元iIe2 ln(e3")+ln(e2=ln(e66
对数函数的性质 ① ② ③ 当 z z x = = Re 0 时， ln ln ,arg 0, z x z = = 这时对 数函数的主值 ln z 就是原实变数对数函数 ln x。 Ln ln 2 z z k k = + = πi, 0, 1, 2, Ln Ln Ln (z z z z 1 2 1 2 ) = + 1 1 2 2 Ln Ln Ln z z z z = − 注意，这些等式 右端必须取适当 的分支才能等于 左端某一分支。 若仅对某一分支 结论是不一定成 立的。 例如 5πi 6 − = 7πi 6 = 2 1 πi πi 3 2 ln(e ) e 2 1 πi πi 3 2 ln(e ) ln( ) + e