<3>VB∈V若彐a0∈V,使a0=B, o B=do +kero ={(ao+a)a=0,c∈V,ao∈V} o是单射<Kero=0 dim( Kero)=n-ranka=n-dim Imo 例3:F上次数≤n-1的多项式F[x] σ是微分变换,任f(X)∈Fn[x,af(x)=f(x) Imo=Fn-LxI, Kero=F, dim Imotdim Kero =n dim(Imo+Kero=n-1 6
6 1 0 0 0 ker {( ) 0, , } V V − = + = + = dim( Ker) = n − rankA = n − dim Imσ ( ) [ ], ( ) ( ) 3 1 [ ], f X F x f x f x F n F x n n = − 是微分变换，任 例 ： 上次数 的多项式 1 Im [ ], , = = F x Ker F n− dim Im dim dim(Im ) 1 Ker n Ker n + = + = − = 是单射 Ker 0. 0 0 = 3 , , V V 若 使
定理6:设σ是Vn(F)上的线性变换,则 dim= dim Kero+dmImσ 证:设 dim Kero=r,在Kero取基G1,…,E, 把它扩充成V的一组基s1,…,E,En n 则Imσ=L(oE1,…OEn)=L(OEn1…,OEn) 只要证明aen1,…,En线性无关, 设有k+1Oen+1+…+ k oe=0, →>O(kn+1En+1+…+k, )=0 n n kn+1+…+knEn=kE1+…+k,En 15r5Cr+15 E线性无关→>k,=0, dim img=n-r
7 dim dim dim Im . 6 ( ) , = + V Ker 定理 ：设 是Vn F 上的线性变换 则 1 1 1 dim , , , , , , , , , . r r r n Ker r Ker V + 证：设 = 在 取基 把它扩充成 的一组基 ( ) 0 0, 1 1 1 1 → + + = + + = + + + + r r n n r r n n k k k k 设有 1 1 1 Im ( , , ) ( , , ). , , , n r n r n L L + + 则 = = 只要证明 线性无关 dim Im . , , , , , 0, 1 1 1 1 1 1 n r k k k k k r r n i r r n n r r = − → = + + = + + + + + 由 线性无关