Beijing Jiaotong niversityTnestitutcolEngincningMechanic能量法
Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 能量法
Beijing Jiaotong niversityT卡氏定理nstituteolEnginceningMechanicF2.余能定理和卡氏第二定理FF2F311B一般非线性弹性体AAA4..ATHm按比例方式加载余能为：V =W。=≥J。4dF（广义力、广义位移）设第个荷载F有一微小增量dF则外力总余功的改变量为：dW.=,dFI1aVdFdV.余能的相应改变量为：CaFi余能对某一广义力的偏aVc（余能定理）导数，等于与该广义力4.一=oFi相对应的广义位移
Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 2.余能定理和卡氏第二定理 余能为： 0 1 d n F c c ii i VW F ∆ = = = ∑ ∫ 设第i个荷载Fi 有一微小增量dFi ， 则外力总余功的改变量为： dWc = ∆i d Fi 余能的相应改变量为： i i c c F F V dV d ∂ ∂ = 卡氏定理 一般非线性弹性体 1 2 3 n 1 2 3 n B 按比例方式加载 = F V i c i ∂ ∂ ∆ = (余能定理) (广义力、广义位移) 余能对某一广义力的偏 导数，等于与该广义力 相对应的广义位移
Beijing Jiaotong MniversityT卡氏定理nstitutcolEnginceningMechanicsav.(余能定理）AoFi对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V。余能V此时上式变为：av（卡氏第二定理）aFi★卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理，作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。★所导出的位移是加力点沿加力方向的位移
Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V ε= 余能V c 此时上式变为： F V i i ∂ ∂ = ε ∆ F V i c i ∂ ∂ ∆ = (余能定理) (卡氏第二定理) 卡氏定理 ★卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合 于非线性弹性体，而卡氏第二定理，作为余能定理的特 例，仅适合于线弹性体。 ★所导出的位移是加力点沿加力方向的位移
BeijingJiaotongniversityT卡氏定理InstituteolEnginceningMechasicaV:A（卡氏第二定理）aFi★当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。★实际计算时，常采用以下更实用的形式：addZdxZdx+4, =12EAaFaF2GIpaFHaMMalFnOFNdx+Z]IGI, aF.=ZJ1dx+dx2EAOFiEIF
Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 22 2 d dd 22 2 d dd N i ll l i ip i N N lll i ii p F TM x xx F FI F EA G EI F F T T MM x xx EA F FF GI EI ∆ ∂∂ ∂ =+ + ∑∑ ∑ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =++ ∑∑∑ ∂ ∂∂ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ★实际计算时，常采用以下更实用的形式： ★当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上 广义力，将其看成已知外力，待求过偏导后，再令该 “虚加”外力为0。 F V i i ∂ ∂ = ε ∆ (卡氏第二定理) 卡氏定理
Beijing Jiaotong MniversityT卡氏定理一例2nstituteolEnginceningMechanicsF9求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。解：1）求内力（弯矩）；Bx求应变能（外力的函数）：203）将应变能对外力求导。2aM(x)qxM(x)= Fx +=x2aFFI3914avM(x)aM(x)6dxWBaFEI8EIaF3EIaTTamMaFNdx+HZJdx+ZIIGIdxZi4, =EIFiEAOFaFiD
Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。 x F qx M x M x Fx = ∂ ∂ = + ( ) , 2 ( ) 2 3 4 () () 3 8 B l V M x M x Fl ql w dx F EI F EI EI ε ∂ ∂ = = = + ∂ ∂ ∫ 解：1）求内力（弯矩）； 2）求应变能（外力的函数）； 3）将应变能对外力求导。 卡氏定理例2 d dd N N i lll i ii p F F T T MM x xx EA F FF GI EI ∆ ∂ ∂ ∂ =++ ∑∑∑ ∂ ∂∂ ∫∫∫