线性代数教案第4章特征值与特征向量矩阵的对角化授课题目84.2矩阵的特征值与特征向量课次：171.知识目标（1）掌握特征值、特征向量的概念、性质及求法。2.能力目标（1）计算能力：能够熟练运用特征值与特征向量的求解方法，准确计算给定矩阵的特征值和特征向量。（2）应用能力：能够利用特征值与特征向量解决实际问题，如求解线性变换的对角矩阵表示、分析振动系统的稳定性等。（3）推理能力：培养学生的逻辑推理能力，使其能够根据已知条件，推导出特征值与特征向量的相关结论。教学目的3.情感与态度目标（1）激发兴趣：通过生动有趣的实例和案例，激发学生对特征值与特征向量学习的兴趣，培养其主动探索数学奥秘的意愿。（2）培养耐心：在计算特征值与特征向量的过程中，培养学生的耐心和细心，使其能够面对复杂的计算过程而不失耐心。（3）团队合作：通过小组讨论，合作学习等方式，培养学生的团队协作精神和沟通能力，使其能够在团队中共同解决问题。（4）创新意识：鼓励学生提出新的问题和想法，培养其创新意识和解决问题的能力，使其能够在数学学习中不断挑战自我、超越自我。教学重点特征值与特征向量的求法教学难点特征值与特征向量的求法教学手段板书与多媒体结合、学习通教学方法讲授法、实例分析法、练习巩固法、讨论探究法教学时数2课时教学过程备注一、复习引入为了定量分析工业发展与环境污染的关系，某地区提出如下的增长模型：设α.为该地区目前的污染损耗（由土壤、河流、湖泊及大气污染指数测得），b.是该地区目前的工业产值.以5年为一个发展周期，一个周期后的污染损耗和工业产值分别记为a和b,，它们之间的关系是82.7-bo,b,=3%+1ba=号%-343写成矩阵形式为81313Cae或n=Ano27/3b13计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 4 章特征值与特征向量 矩阵的对角化 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §4.2 矩阵的特征值与特征向量 课次：17 教学目的 1.知识目标 （1）掌握特征值、特征向量的概念、性质及求法。 2.能力目标 （1）计算能力：能够熟练运用特征值与特征向量的求解方法，准确计算给定矩阵的 特征值和特征向量。 （2）应用能力：能够利用特征值与特征向量解决实际问题，如求解线性变换的对角 矩阵表示、分析振动系统的稳定性等。 （3）推理能力：培养学生的逻辑推理能力，使其能够根据已知条件，推导出特征值 与特征向量的相关结论。 3.情感与态度目标 （1）激发兴趣：通过生动有趣的实例和案例，激发学生对特征值与特征向量学习的 兴趣，培养其主动探索数学奥秘的意愿。 （2）培养耐心：在计算特征值与特征向量的过程中，培养学生的耐心和细心，使其 能够面对复杂的计算过程而不失耐心。 （3）团队合作：通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生的团队协作精神和沟通 能力，使其能够在团队中共同解决问题。 （4）创新意识：鼓励学生提出新的问题和想法，培养其创新意识和解决问题的能力， 使其能够在数学学习中不断挑战自我、超越自我。 教学重点 特征值与特征向量的求法 教学难点 特征值与特征向量的求法 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 讲授法、实例分析法、练习巩固法、讨论探究法 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 为了定量分析工业发展与环境污染的关系，某地区提出如下的增长模型：设 0 a 为该地区目前的污染损耗（由土壤、河流、湖泊及大气污染指数测得）， 0 b 是 该地区目前的工业产值.以 5 年为一个发展周期，一个周期后的污染损耗和工业 产值分别记为 1 a 和 1 b ，它们之间的关系是 1 0 0 1 0 0 8 1 2 7 , 3 3 3 3 a a b b a b = − = − + 写成矩阵形式为 1 0 1 0 8 1 3 3 2 7 3 3 a a b b − = − 或 1 0 = A
线性代数教案第4章特征值与特征向量矩阵的对角化(8_!)33其中n2733，则如果当前水平n(2)833即n. = Ano == Ano=2n=272(233由此可以预测n个周期后的污染损耗和工业产值：n.=2nn-1=2nn-2=...=2"no以上运算中，表达式An。=2n.反映了矩阵A的特征值2和特征向量n的关系问题二、讲授新课（一）特征值与特征向量的概念定义1设A是n阶方阵，若存在数入和非零列向量x，使等式Ax=1x成立，则称数入为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值入的特征向量注意：特征值和特征向量问题是针对方阵而言.特征值入可以为0也可以不为0，但特征向量必为非零向量；零矩阵0只有零特征值不难看出等式Ax=1x也可写成(A-^E)x=0这是n个方程构成的n元齐次线性方程组，其非零解即为A的对应于特征值入的特征向量，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式为零，即[A-^E|=0.上式是以元为未知量的方程，称此方程为方阵A的特征方程，显然方阵A的特征值就是特征方程的根，设入=入为方阵A的特征值，则由齐次线性方程组计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 4 章特征值与特征向量 矩阵的对角化 计算机与数学基础教学部 王娜 其中 1 0 1 0 1 0 8 1 3 3 2 7 3 3 a a b b − = − = , A = 如果当前水平 0 1 2 = , 则 1 0 8 1 3 3 1 1 2 , 2 7 2 2 3 3 − = = = − A 即 1 0 0 = = A 2 由此可以预测 n 个周期后的污染损耗和工业产值： 2 1 2 0 2 2n n n n = = = = − − 2 以上运算中，表达式 0 0 A = 2 反映了矩阵 A 的特征值 2 和特征向量 0 的 关系问题. 二、讲授新课 （一）特征值与特征向量的概念 定义 1 设 A 是 n 阶方阵，若存在数 和非零列向量 x ，使等式 Ax = x 成立，则称数 为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特 征向量. 注意：特征值和特征向量问题是针对方阵而言. 特征值 可以为 0 也可以不为 0 ，但特征向量必为非零向量； 零矩阵 O 只有零特征值. 不难看出等式 Ax = x 也可写成 ( ) A - E x = 0 这是 n 个方程构成的 n 元齐次线性方程组，其非零解即为 A 的对应于特征值 的特征向量，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式为零， 即 A E − = 0. 上式是以 为未知量的方程，称此方程为方阵 A 的特征方程，显然方阵 A 的特征值就是特征方程的根. 设 = i 为方阵 A 的特征值，则由齐次线性方程组