线性代数教案第2章矩阵及其运算(B.a) p- Bea) p.β,=α,I/B/IIB,IP-12-10/111.62一302再将向量组β,β,β,单位化，得(1.11T万76Pβ=β2一11SS：E三V2V6V3I/P.lIIB,lIIB.J201下丽则向量组,52,5即为与αi,α,α,等价的标准正交向量组.(1)例3已知α=，求非零向量αzα使α,αzα两两正交L(1)(x)解设α=与α正交，则有1X2（）(αj,α)=αTα=0,即X+X+X=0,进而X=-X-,其中x,x为自由未知量，由此得到该齐次线性方程组的通解[x, =-X2 -x3X2=X2，[x,=xtx=-对其基础解系计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) = − − 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 2 2 3 1 0 0 2 1 ( 6) 2 − − − − = − − − = ， 再将向量组 1 2 3 , , 单位化，得 1 1 1 1 2 1 2 0 = = ； 2 2 2 1 6 1 6 2 6 = = − ； 3 3 3 1 3 1 3 1 3 − = = ， 则向量组 1 2 3 , , 即为与 1 2 3 , , 等价的标准正交向量组. 例 3 已知 1 1 1 1 = ，求非零向量 2 3 , 使 1 2 3 , , 两两正交. 解 设 1 2 3 x x x = 与 1 正交，则有 T 1 1 ( , ) 0 = = ， 即 1 2 3 x x x + + = 0 ， 进而 1 2 3 x x x = − − ， 其中 2 3 x x, 为自由未知量， 由此得到该齐次线性方程组的通解 1 2 3 2 2 3 3 x x x x x x x = − − = = ， 1 2 1 2 3 1 1 1 0 0 1 x x k k x − − = = + x ， 对其基础解系
线性代数教案第2章矩阵及其运算-1-15 = 1 5, =001采用施密特正交化的方法可得(-1)α, =5=1(012a, =5, - (a,5)0α=2Ja,1则α2α,即为所求（四）正交矩阵及正交变换定义5若n阶方阵A满足AA=E（即A-=A），则称A为正交矩阵由定义5不难得出正交矩阵具有下列性质：（设A与B为同阶正交矩阵）（1）A可逆，且A-I=AT（2）AT与A"均为正交矩阵：(3) A|=1, 或A=-1（4）AB也为正交矩阵.coso-sino例4设A=判断A是否为正交矩阵(sinecosO解(cososing)AT-(-sinocoso)cOsosinecosoA'A=(sing-sinocosocos6则由定义4-5可知A是正交矩阵.11一111例5设A=，验证A为正交矩阵V26万2103V6计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 1 1 1 0 − = ， 2 1 0 1 − = ， 采用施密特正交化的方法可得 2 1 1 1 0 − = = ； 2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , ) 1 1 0 1 2 2 1 0 1 − − − = − = − = − ， 则 2 3 , 即为所求. （四）正交矩阵及正交变换 定义 5 若 n 阶方阵 Α 满足 Τ Α Α= Ε （即 −1 T A A= ），则称 A 为正交矩阵. 由定义 5 不难得出正交矩阵具有下列性质：（设 A 与 B 为同阶正交矩阵） （1） A 可逆，且 −1 T A A= ； （2） T A 与 −1 A 均为正交矩阵； （3） A = 1 ，或 A = −1 ； （4） AB 也为正交矩阵. 例 4 设 cosθ sinθ sinθ cosθ − = Α ，判断 A 是否为正交矩阵. 解 T - cosθ sinθ sinθ cosθ = Α ， T 1 0 0 1 cosθ sinθ cosθ sinθ sinθ cosθ sinθ cosθ − = = = − Α Α Ε ， 则由定义 4-5 可知 A 是正交矩阵. 例 5 设 1 1 1 2 6 3 1 1 1 2 6 3 2 1 0 6 3 − = − A ，验证 A 为正交矩阵
线性代数教案第2章矩阵及其运算进一步，有下面的结果。定理3方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组为标准正交向量组：(证明略）我们一般利用定义5或定理3来判别一个矩阵是否为正交矩阵例6设A=E-2ααT，其中α为n维单位列向量，证明A为正交矩阵.证明易知AT=(E-2ααT)=E-2(aα')=E-2aα由AA=(E-2αaα)(E-2αα)=E-4ααT+4(αα)(αα)=E-4ααT +4α(α'α)αT=E-4aαT +4αaα,又α为n维单位列向量，可知α=1，从而ATA=E，因此A为正交矩阵oa20为正交矩阵，求a,b.例7设A=101b0(解因为A为正交矩阵，由定理4-3可知，A的列向量组为标准正交向量组，即列向量均为单位向量，可得+b2=解得11b=±a=±V2V2又正交矩阵的列向量两两正交，即1a+b=0,a+V22可得a=-b.因此计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 进一步，有下面的结果. 定理 3 方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列向量组为标准正交向 量组. (证明略). 我们一般利用定义 5 或定理 3 来判别一个矩阵是否为正交矩阵. 例 6 设 T A E= − 2 ，其中 为 n 维单位列向量，证明 A 为正交矩阵. 证明 易知 T T T T T T A E E E = − = − = − ( 2 ) 2( ) 2 由 T T T T T T T T T T T 2 ( 2 )( 2 ) 4 4( )( ) 4 4 ( ) 4 4 , = − − = − + = − + = − + A A E E E E E 又 为 n 维单位列向量，可知 =1 ，从而 Τ Α Α= Ε ，因此 A 为正交矩阵. 例 7 设 1 0 2 1 0 0 1 0 2 a b = A 为正交矩阵，求 a,b . 解 因为 A 为正交矩阵，由定理 4-3 可知， A 的列向量组为标准正交向量 组，即列向量均为单位向量，可得 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 b a + = + = ， 解得 1 2 a = ， 1 2 b = . 又正交矩阵的列向量两两正交，即 1 1 0 2 2 a b + = ， 可得 a b =− . 因此
线性代数教案第2章矩阵及其运算11a=a=22或11b=bV22相应的正交矩阵有下列2个：1111002000011111002定义6若P为正交矩阵，则称线性变换V=Px为正交变换设y=Px为正交变换，x,x,为n维列向量，y,=Px，y2=Px2，xj,x的夹角为，J,的夹角为，由定义4-6可得，= yy= Vxp"px= /x(P"P)x= Vxx=x,(1,y2)= yy2 =(Px)(Px2)= xpTPx, =xx, =(xi,x2),((y,y))((x,x)=0p=arccos=arccos(iyllyl)(1xlx2)其中x表示向量的长度，这说明正交变换保持向量的内积、长度和夹角不变，因而在空间中保持几何图形不变，这正是正交变换的特性三、巩固练习(100)010判断下列矩阵是否为正交矩阵：010四、小结1.向量的内积与长度；2.将一组向量规范正交化的方法；3.判断正交矩阵的条件。五、布置作业学习通作业教学反思：经过本次向量的内积教学，我深刻反思了整个教学过程，从准备阶段到实施阶段，再到学生的反馈和评估，都为我提供了宝贵的经验和教训。以下是我对这次教学的几点反思：一、教学目标明确性在教学准备阶段，我明确了向量内积的教学目标，包括理解内积的定义、掌握内积的计算方法、计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 1 2 1 2 a b = = − 或 1 2 1 2 a b = − = ， 相应的正交矩阵有下列 2 个： 1 1 0 2 2 1 0 0 1 1 0 2 2 − ， 1 1 0 2 2 1 0 0 1 1 0 2 2 − . 定义 6 若 P 为正交矩阵，则称线性变换 y Px = 为正交变换. 设 y Px = 为正交变换， 1 2 x x, 为 n 维列向量， y Px 1 1 = ，y Px 2 2 = ， 1 2 x x, 的夹角为 ， 1 2 y y, 的夹角为 ，由定义 4-6 可得, T T T T T T y y y x P Px x P P x x x x = = = = = ( ) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( , ) = = = = = T T T T T y y y y Px Px x P Px x x x x ， 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) arccos arccos = = = y y x x y y x x ， 其中 x 表示向量的长度，这说明正交变换保持向量的内积、长度和夹角不变， 因而在空间中保持几何图形不变，这正是正交变换的特性. 三、巩固练习 判断下列矩阵是否为正交矩阵： 1 0 0 0 1 0 0 1 0 四、小结 1.向量的内积与长度； 2.将一组向量规范正交化的方法； 3.判断正交矩阵的条件。 五、布置作业 学习通作业 教学反思： 经过本次向量的内积教学，我深刻反思了整个教学过程，从准备阶段到实施阶段，再到学生的 反馈和评估，都为我提供了宝贵的经验和教训。以下是我对这次教学的几点反思： 一、教学目标明确性 在教学准备阶段，我明确了向量内积的教学目标，包括理解内积的定义、掌握内积的计算方法
线性代数教案第2章矩阵及其运算理解内积的几何意义和物理意义等。然而，在实际教学中，我发现有些学生对内积的几何意义理解不够深入，这提示我在未来的教学中需要更加注重几何直观的引入和解释。二、教学方法多样性我采用了讲授法、练习巩固法等多种教学方法来教授向量内积。这些方法在一定程度上帮助学生理解和掌握了内积的概念和性质。然而，我也发现，有些学生在面对复杂的计算和推理时仍然感到困难。因此，我需要进一步探索更适合学生的教学方法，如引入更多的实际案例、采用更加直观的教学工具等。三、学生参与积极性在教学过程中，我注重激发学生的学习兴趣和积极性。通过小组讨论、课堂练习和课后作业等方式，我鼓励学生积极参与课堂活动。然而，我也注意到，有些学生在课堂上表现不够积极，可能是因为他们对内积的概念不够熟悉或者对教学方法不适应。因此，我需要进一步关注学生的个体差异，采用更加灵活多样的教学策略来激发学生的学习兴趣。四、教学效果评估在教学结束后，我通过课堂测试、作业批改和课后反馈等方式对学生的学习效果进行了评估。评估结果显示，大部分学生能够理解和掌握向量内积的概念和性质，但仍有少数学生存在困难。这提示我在未来的教学中需要更加注重个体差异的关注和辅导，同时加强对学生学习效果的跟踪和评估。五、改进措施针对以上反思，我计划采取以下改进措施来提高向量内积的教学效果：加强几何直观的引入和解释，帮助学生更深入地理解内积的几何意义。探素更多适合学生的教学方法，如引入实际案例、采用更加直观的教学工具等。关注学生的个体差异，采用更加灵活多样的教学策略来激发学生的学习兴趣。加强对学生学习效果的跟踪和评估，及时发现并解决学生学习中的困难。通过这次教学反思，我深刻认识到教学是一个不断改进和完善的过程。我将继续努力，不断提高自己的教学水平，为学生提供更加优质的教育服务。计算机与数学基础教学部王娜
线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 理解内积的几何意义和物理意义等。然而，在实际教学中，我发现有些学生对内积的几何意义理解 不够深入，这提示我在未来的教学中需要更加注重几何直观的引入和解释。 二、教学方法多样性 我采用了讲授法、练习巩固法等多种教学方法来教授向量内积。这些方法在一定程度上帮助学 生理解和掌握了内积的概念和性质。然而，我也发现，有些学生在面对复杂的计算和推理时仍然感 到困难。因此，我需要进一步探索更适合学生的教学方法，如引入更多的实际案例、采用更加直观 的教学工具等。 三、学生参与积极性 在教学过程中，我注重激发学生的学习兴趣和积极性。通过小组讨论、课堂练习和课后作业等 方式，我鼓励学生积极参与课堂活动。然而，我也注意到，有些学生在课堂上表现不够积极，可能 是因为他们对内积的概念不够熟悉或者对教学方法不适应。因此，我需要进一步关注学生的个体差 异，采用更加灵活多样的教学策略来激发学生的学习兴趣。 四、教学效果评估 在教学结束后，我通过课堂测试、作业批改和课后反馈等方式对学生的学习效果进行了评估。 评估结果显示，大部分学生能够理解和掌握向量内积的概念和性质，但仍有少数学生存在困难。这 提示我在未来的教学中需要更加注重个体差异的关注和辅导，同时加强对学生学习效果的跟踪和评 估。 五、改进措施 针对以上反思，我计划采取以下改进措施来提高向量内积的教学效果： 加强几何直观的引入和解释，帮助学生更深入地理解内积的几何意义。 探索更多适合学生的教学方法，如引入实际案例、采用更加直观的教学工具等。 关注学生的个体差异，采用更加灵活多样的教学策略来激发学生的学习兴趣。 加强对学生学习效果的跟踪和评估，及时发现并解决学生学习中的困难。 通过这次教学反思，我深刻认识到教学是一个不断改进和完善的过程。我将继续努力，不断提 高自己的教学水平，为学生提供更加优质的教育服务