F,,)-(x,y)·(r;)(x,y) (F,,),(*,y):-(a,x十饥,y十c…),(x,y)∈Y (x,y)∈T, 再设 (T;)#(x,y):一((F,;,),(x,y)y2 定义二元样条函数 ∑,(r.,)#+ (28) 其中4.,∈P-k-1由(27)所确定 显然,S∈SK△.),=I,……,“亦(i,)),且S,的支集是从 r∴,按逆时针方向到r,;,m,)时所扫过的角域。 定理230下述二元样条函数组 :-{xy3,xy“)#+(xy),S,;(x,y)10≤a+b≤k 0≤c+d≤k-a-1,=1,…,L, 是样条函数空间Sx△。)的基函数组 证明设 P+∑q()+∑∑ e;,;,S; (29) 此处p∈P,9n∈P--1,而c是常数 为证定理23,只须根据(29)式去证明p,所有9,以及所 有c;,必恒为0即可按定义,(r)*和,在源胞腔D 中恒为0,所以由(29)推出p咖0 若与源胞腔D*位于的同侧根据S;,:所具有的 支集性质,在所有与f相邻的胞腔中恒有S,(x,y)≡0.如果 A,;与源胞腔D*分别位于r的两侧时,引人变换 s,-S;∷-∑1,(T;)+ 210) 显然,当A,;与D*分别位于『1的两侧时,在与r1相邻的 29
切胞腔中恒有S,,(x,y)=0,其中各9,与(2.8)中的一致 对这样一些A.;,将(2.10)代入(29),则对任一与r1相邻 的胞腔,均有 q(r)#+Σ()+∑∑1,S,≡0,(2.1) 其中4。是9、或者是q与诸9的线性组合,这里r r≠1E表示对一切与厂相交的rw≠1)所求的和 现在限制(211)的左端在F1的相邻胞腔上取值。依次考虑 以A1A1,…,A,为公共点的关联区域St(1,),St(A1z), ,St(A.-).并且在每个关联区域St(A,)处均按逆时针方 向来考虑。这样,我们所要解的方程组是一个关于q1(x,y)(a1x+ by+c1)+,qn(x,y)(anx十b灬y十c)“(如果r。与r相 交〕和 m() cL,,S,i(x, y),i (212) 的方程组,只须适当地调整该方程组的顺序、并去掉一些相关的 方程式,我们可将该方程组的系数矩阵化为一个主对角线上的元 素皆为1的一个下三角方阵。从而41(x,y)≡0,并且由(2.12) 给出的函数也皆恒为0由(28),在St(A1,的每个胞整上,有 t4) 2:;∑(a,x+b,,y+ci,)·(x,y)=0 其中;=1,…,m(1,,上述方程组又可化为 (1j) et,i,(q,;,引,;,(1,1,)0 因为向量组(27)线性无关,所以 e 0,r1 进而上式对-1,…,m恒成立。于是(29)化为 3Q◆
D(i° ∑9(T)#+∑∑ 因为分1=0,源胞腔D*可扩张到使F2上的某钢线成为其达 界的一部分。 重复以上证明过程,可推知g2当0,且 最终可得到qA≡0,且,-0对一切μ,t-1,…;4(m(, n),和所有的讠与 称始于内钢点、终止于D的边界D的线段为D内的射线 在文[6]中,我们称一个剖分为拟贯穿剖分( Quasi- cross--cur) 如果该剖分中的每一网线、或者是贯穿线的一部分、或者是D内某 射线的一部分,常以△记拟贯穿剖分 设构成剖分△,的贯穿线为L1条,射绲为L条,且 L1+L2一L.如同在贯穿剖分中所作的那样取定△4的源胞 腔D:D*∩∂D≠中 我们按下面的次序为剖分线编号。从D。出发,沿着0D按 顺时针方向行进(即使D始终在我们的右边),我们将(不重复地 依次遇见剖分线『2…,T其中遇见的贯穿线依次为r, r,…,鬥,射线侬次为『,r,…r,以下常设r;位于直 线 li:ar+ by tied (213) 上 定理240设△。为单连通域D的拟贯穿剖分,它由L1条 贵穿线及L2条射线所构成,设△的V个内因点为A…… ,且过内网点A的贯穿线及射线的总条数为N;,=1, V.则有如下的维数公式 dims(4v)/饣+2 此一阵 ∑4(N), 其中N)由公式(22)所给出
下面导出拟贯穿剖分△4下的样条函数空间S(4)的基 底.设F;为剖分△的任一剖分线,我们从F;与0D的交 点P出发,沿r向D内行进,依次遇到的内网点记为Ba,B …,B;,;因此B,n为F,上距P点最远的内点,设B 由剖分线 讠需(;即 相交而成。我们在B 点将r;延长使与D相交,这样将D分为两郭分,若源胞腔 D整个地属于这两部分之一,则我们从以B;,;为顶点,『,与 r.,(〓1,2,…,m(in:)为边构成的所有大于或等于x且不 含有D*的角域中找出最接近于丌的那一个角域,并记为M,…; 若D不能整个地属于前述的D的两部分之一,则我们从以B;, 为顶点,r与r1,2,…,m(n 荐;)为边按逆时针方向 构成的所有小于x且不含有D*的角域中找出最接近于x的那 一个角域,并记为M1,我们用下式来定义以M,;为局部支 集的二元样条函数(r;) (r)=4x+by+c,(x,y)∈M,… 其它 显然,当r4为贯穿剖分线时,(r)的定义与前面相一致。我 们又定义 (r)(x,y)[(r;)a(xy)]+ 设剖分△q产生了V个内网点,这些点将依下法编号.从 r在∂D上的始端出发,沿F1向D内行进,我们将依次遇见的 内点分别记为A1,1,A,a,……,A,,一般地,对介于1和L中的 每个i,我们从在D上的始端出发,沿F向D内行进, 将依次遇见新的内网点分别记为A,…,A,:,…,A,注意为邂 免重复,我们将在此之前已编过号的内网点去掉了,这样,所有编 号的内网点A,,}〓1,2,…,n-1,2,…,L是不同的,且有 十 这里m=0,因为T上的内网点总是位于r(1≤i≤L一 1)中的某一条上 设内点A,由咧线r,…,f,解交成,考
线性方程组 ∑.+:(x,y)(a.,,x+b,;y+c,)+_0,(2.14) 其中l,:a,x十b,;y十c,=0为l1,l2,…,中的某一 条且r,位于l,上。如设A.;=(x,;,y,;),则有 l,;x:a;(x一期H)十b,;,(y一y,;)〓0, 其中aHb,x÷a,b,,1≤5<t≤m(i,。方程组(Ll4)有 d(m(i,)个线性无关解组: (q,,:,9; ,,;m,升,) (215) dm(,力 现在来说明T,是如何编号的。图绕着A,点,我们从 ra,t按反时针方向可依次遇到网线rt…,F;;m},并且 T,是这样取的:当我们面对点A.;站在D′中时,最靠近我 们右手的通过点A,;的剖分线记为r;i 下面来定义函数(r;),,1≤s≤m(i刀): (ri),一(r;) 当s=2,3,…,m(i,有 (r;,)一(T.)(T;)*(叫,x十b,ny+c;,), 其中(x,y)l和,当(x,y)∈,n时,有(r;).-0.又 (r;,)#x,y)一(F;)(x,y)) 再定义二元样条函数 ∑9.;:,、(r;r)#+ (2.16) 其中多项式9∈Pk--如(115)式所示,显然 {S;:x;z-1,2,…·,di(m(i,力)}cS;(△D) 如图2.1,S,;的支集是从T:t反时针进行到r∴;;的 角域 我们有如下关于样条空间S△)基底的定理 定理25)样条空间S(△)的基为如下样条函数的集合