z)∈S(△),必须且只须孓(x,y,z)可表示为(147)式的形式, 且在每条内稜上满足相应的协调条件(146) 有了表达式(147)和定理129,我们可以进一步给出高维样 条的插值适定性条件和算法
第二章多元样条函数空间 从原则上讲,多元样条函数的所有性质和一切应用、都可以从 本书第一章里所指出的基本理论框架引伸出来。前章52中指出 的多元样条函数的表达式、尚不便于直接应用。因为它尚依赖于 整体协调条件的解,以确定所有的光滑余因子。而后者的解,有时 需要采用特定的方法来实现之 如所知,多元样条函数空间S△)是一个线性空间。对于各 种特定的朝分△,如何找出样条函数空间Sr△)的便于应用的 基函数组,是多元样条函数研究中的关键问题之一。与此相关的 问题,是如何享先求出样条函数空间S(△)的维数dmsr(△) 本章中讨论的主要问题就是如何确定 dim Sy(Δ),并找出S△) 的基函数组来。 §1.贯穿剖分上的多元样条函数空间 在第一章中我们已经给出了R2中区域D的贯穿剖分△的定 义。今以△,记D的一个贯穿剖分,设△。在D内有L条贯穿 线,V个内阙点A1,……,A,且恰有n条贯穿线相交于A点, 设(a,B1),,(a,P)是两两线性独立的数偶,即a≠ ,(≠j,i1,…,N.设一点处的协调条件解空间为 l∑ 9(x,y)(G;x十y)+≡0, 91,……,9∈P4 (21) L,L. Schumaker讨论和给出了dmV的公式
因为由(21)导出的线性方程组的系数矩阵中的元素是一些 二项系数,只要利用消元法和二项系数间的关系式,就不难导出 dim VN的具体公式。引理2.1里的公式(2.2)是文献[6]中给出 的,它不同于L.L. Schumaker的原始形式(文献[7])且便于应 用 引理21 dim v (N-1)一(N+1)4+(N一3) 十 (22) N 定理22 k十2 一十1 dim sr(ae) L 2.3 其中L为贯穿线的条数,(n)由公式(22)所给出,而n为相 交于第i个内网点处的贯穿线数,V为内网点数 证明设第个内网点A,-(x;y;)处恰有如下的m条线 相交 py一y;)一0, 其中o1jBat-a;iP≠θ1≤j n 以q-9;∈Pk--1,j-1,…,2n记过A的各内网线的 光滑余因子。按A处的协调条件,有 ∑(9+*,y)+x,y))[a1(x-x)+B,y-男)]=0 记Q(x,y): (x,y)+9(r,y),则由引理21,方程组 Q,(r,y)·[a(x-x)+;(y-y;)]“=0(25 26
解空间的维数为d(n,) 然而从Q;(x,y)的定义不难看出,即使从(25)已确定了所 有的Q(x,y),多顶式q;;(x,y)与9(x,y)中仍有一个多项 式是完全自由的.所以在我们解完了所有内肉点处的协调条件 (即整体协调条件)后,每条贯穿线中都有一段内阏线,相应于其上 的光滑余因子是自由的 综上所述,对于剖分△2来说,所有内线上光滑余因子的真 正自由的参数个数为 H+1 L ∑d(n) 取十2 再加上源胞腔上次多项式的自由度 即可知(23)式 成立 从定理2的证明,可以发现贯穿分的一大特点是,各内网 点处的协调条件可以彼此独立地求解。因而给理论分析和实际计 算带来了许多方便之处 以下我们将分析并投出样条函数空间Sr(△)的一类基函数 组 设1,…,T1是剖分△。的贯穿线,并设F,位于直线v a;x+b;y+c,-0上,i-1,…,L.因为我们并不要求区域 D是凸的,所以有可能两条成多条贯穿线位于同一条直线v上 即n1…·吃不必是互异的 取定如此一个胞腔D*,其边界的一部分也是区域D的边界 0D的一部分,即所调沿边的胞腔.并以D*作为源胞腔,并按 下述方式引进本书第一章中所介绍的“流向图”:从D·出发,按 右手方向沿0D运动,并以遇到贯穿线的先后顺序排列所有的贯 穿线T1F2,…,F,因为r,贯穿D,且D是单连通的,所以 它分D为两部分D;与D,其中DCD.二元截断多项式 (r)(它是前章定义112的特殊化)定义为([6】)
(r,)a(x,y) ;x+by十c;,若(x,y)∈D;, 若(x,y)∈D;∪ 和 (T;)#(x,y)〓((F)(x,y)y+ 按下列方式顺序排列△。的所有内网点:从r的靠D,的 端依次往r1的另一端排列T上的所有内树点A1,…, A1.;从D按右手法则首先到达的r;的一端逐次往另 一端排列F,上尚未被前面各步排完的内网点A,t 因此A,;,-1,…,m; L是互异的,且m; …十mz〓V.因为r乙上的所有内冈点,必然被前面诸步骤 所排完,所以必有m=0 假定相交于A,的贯穿线为r1,…,F,m,,m(i,为 不小于2的整数,显然这些贯穿线只是r1,…,T中的一部 分。考虑于A;处的协调条件 b;,;,y+c;)y (26) 其中 7,:如;,;,x+b;,y+c;;,0 是F;,所在的直线及其方程式,设A,;一(x,%;),则上式实 际可写成 x一x;)十b,( 此处a,,·b;≠a;b,,1≤1<5≤m(i,。根据引理 2l,(2.6)有d(m(i,)个线性无关解 (,1,…,9 d1(m(i,力) 过A;的贯穿线的编序方法是:当我们面对A,;站在源胞腔 D里时,最靠右手的通过A;的贯穿线为T,然后从它出 发、按逆时针方向绕A;点即依次迁到r;,……,F,G 定义函数(r,),1≤≤m()如下: (r.):一(r, 而当1-2,,m(i,丹时