§5.多元有理样条函数简介 记 {p(x,y)q(x,y)|p∈P,q∈P*且9(x,y)≠0 x,y)∈D} S,(△):={R(x,y)∈C"D)!R(x,y)1p;∈Rn,,vD} (x,y)∈S=n(△)称为二元有理样条函数。在文献[2]中,我 们曾经讨论了此类多元样条函数的一些性质,并得到一些基本结 果 定理123设R(xy)于两相邻胞腔D1,D,上的表达式分 别为 P(x,y)/q、(x,y),Px,y)/(x,y)∈R, 为使R(x,y)∈c“(D,UD1),必须且只须存在 M;(x,y)∈P 使得 Pi(r, y)e[i(x,y]*. Mi(x, y2 q(x,y)分(x,y) (141) 9(x,y)9;(x,y 其中『l(x 为D;与D,的公共内网线 该定理的证明与定理13的证明相似。事实上,充分性是显 然的。为证必要性,按R(x2y)的连续性, (x,y) &i (r, y)Pix, y) q r, y) qi (r, y q, (r, y)q; r,y) 于『上处处为0,因而右端分子必于r#上处处为零。由引理 存在M}(x,y)∈P 使 x(x,y)=团(x2y)1·MB(x2). 9(x,y)q; 再按R(x,y)于F上有连续的1阶偏导数,可推知
r(r,y 1(x,y)]M(x,y) q(x,y)·9(x,y) 其中M(x,y)∈P+n-2,依此烂推,即可证明本定理 称(141)中的M;(x,y)为内线r;上的光滑余因子 在多元有理样条函数研究中的协调条件和整体协调条件分别 为 ∑A[l1f(x,y)] Ma Kx,y) (1.42) 9;(xy)q;(x 和 Ea.[li (r, y)] M:r,y) ≡0,D=1,…,M,(143) 9(x,y)9;x,y) 其中M为剖分△的内网点数 定理124(对于给定的剖分△,函数R(x,y)∈S.(△), 必须且只须R(x,y)在每一内线上均有光滑余因子存在,并且 整体协调条件(143)被满足。 檀结庆在他的博士论文中进一步讨论了多元有理样条函数 的一些问题。 §6.n维样条函数 在文献[4]中,我们曾经讨论了m维样条函数的基本框架,并 给出了类似于1和§2中的一些结果 鉴于 Bezout定理的n维推广是困难的,所以我们的剖分面 仅限于超平面。 设D为R·中的一个单连通区域。用有限块超平面 x:a1x十a2x2+∴十anx,+b-0 对D作剖分△.于是D被剖分成有限个胞腔 D 任一D;的边界面称为△的剖分面 定义元k次多项式类 20
P 为实数 0≤1+…+≤ 定义荐维样条函数 s4):-{S(x,…,x)∈C(D)*,……,x,)n∈P 下面介绍[4]中的一些有关结果 定理1.25若多项式p(x1,…,x)∈P4于超平面 丌·1 十b一0 上处处为0,则以(x;…,x)必可被(x1,…,x)一ax1 …十a十b所整除。即存在x,…x)∈P1,使 P(r .(1.44) 证明因(a1,…,a)不是零向量,不妨设a1≠0,并将 以(x1,…,x)按x的降幂顺序重排为 (x1,x23……x)P(x2,…,x)x十P(x,…,x) P-(x2,…,x)x1+P 其中px…x)为n-1元x2;…x的j次多项式 今用 邬1s +当x1+…+9xn 对p(x1x2,…,x)作带余除法,得 p(x1;,x2…;x)一以(x 十r(x2 2》 其中(x,…,x)∈P,r(x…·,)∈P(x,…,x),因为 a1≠0,所以r(x2…,x)在x的投影面上处处为0.从而 r(x2…,x)≡0,即(144)成立 同51类似地,我们也有 定理126设(x,…,x)于相邻两胞腔D,D;上的表 达式分别为P(x1,…,x),Px1;…,x).为使x…,x)∈ c“(DUD;),必须且只须存在q(x1,…·,x)∈Pk-,满足关系 式
x)] q;(x1, 其中x;:l;(x1,……,x)=0为D;和D;的公共内剖面 (145)中的多项式qx,……,)称为x;的光滑余因子 我们约定m;与r;取同一表达式(li;-0或一l-0),即约 定l(x1,…,xn)≡l1(x,…,x).所以按(145),可知 q;( qir Cr 为使我们的讨论更为直观,以下仅就3维情况来讨论(n 3).其实对于一般n维情况来说相应结果也是成立的 称两相交剖面的交线为稜.由一稜所界定的线段之内点均含 于D的内部,则称该稜为内稜.凡以某內稜为其稜的所有胞腔的 并集,称为该内稜的关联区域,仍记为St(·) 对于内稜AB的关联区域St(AB)来说,以BA为轴、按 右手螺旋系可以确定各相关胞腔的一个频序。自然这个顺序与以 AB为轴的按右手螺旋系确定的顺序正好是相反的为确定起见, 在整个讨论中,对于每条内稜,我们只规定一个旋转方向而自始至 终不予变更 对于过AB的一切内剖面{x;}中诸i,i的顺序作下述调 整:使动点按事先确定的右手螺旋系方向旋转时,它是以从D;跨 人D;的方式越过x的 内稜AB上的协调条件为 EA[l;(x,y,z)]+·9;(x,y,z)≡0, (L46) 其中∑AB表示对一切以AB为其上一直线之内剖面求和, g;(x,y,z)是按上述方式调整后的x;所对应的光滑余因子 定理1.270对于给定的剖分△,w"线(x,y,z)∈S(△),必 须且只须式(x,y,z)在每块内剖面上皆有一光滑余因子存在,并 且于每条内稜的关联区域上满足相应于(146)的协调条件 该定理的证明与定理15的证明是类似的。类似地,我们可 以给出高维样条的表达式。设D被剖分△分成m个胞腔D1
Dn,于这m个胞腔中任选其一,例如D1,作为源胞腔。从源胞腔 D出发、画一流向图c,使之满足: 1°2流遍所有胞腔各1次; 2°只从内剖分面内部穿过,即不允许以穿过稜或点的 方式进入F-胞腔; 3°C穿过每内剖面的次数顶多为1 对于给定的流线♂而言,其所穿过的内剖面称为C的本 性内剖面,另外的内剖面称为的可去内剖面 设x;:};(x,y,3)一0为的任一本性内剖面从源胞腔 出发、沿流向图C前进时,将那些只有越过以后才能到达的 灬切闭胞腔的并集记为U(x);将♂越过x之前所经过的 各闭胞腔的并集记为∪(π),称 f(x;)一U(动U(x 为x;的“前方” 对d的任一本性内剖面x;l;(x,y,z)一0,广义截断多 项式定义为 lx,y,x)]=f1(x,y,z),当(x,y,x)∈(x), 当(xy,z)∈D、f(π 高维样条的表现定理可叙述为 定理128SX(△)中的任一高维样条函数s(x,y,z)均可 唯一地表示为 s(x,y, z) P(r, y, z)+E2[L (x,y, z)]:*1.qii(*,y, z), (147) 其中以(x,y,z)∈Pk为(x,yz)于源胞腔中的表达式,2表 示对♂的所有本性内剖面求和,并且当♂越过x;时恰好是从 D;跨人D,而9x,y,z)为x;x,y,z)0上的光滑余 因子, 进一步,我们还有 定理1290对于给定的剖分△和确定的流向图2,(xy