样条函数(x,y)∈S△)存在且唯一(如此的插值结点组称为是 适定的)并进一步给出(xy)的具体算法 定义13设(x,y)∈S△),称由下式界定的点集 s(x,y)=0 (132) 为(平面)分片代数曲线,它显然是通常代数曲线的一种自然推 命题119设(1.31)中的所有L;为恒等算子I.则插值结 点组(x;y;),〓1,…d是插值问题(1.31)的适定结点组,必 须且只须{(xy)}不同时位于一条非零分片代数曲线 (x,y)〓0上,其中(x,y)∈S△) 事实上,结点组{(x,y)};全部位于一条非零分片代数曲 绂孓(xy)一0上,即等价于相应于(131)的齐线性方程组(诸 L;=1)有非零解存在,而这又等价于原始非齐线性方程组(L31) 的解不唯一,即结点组{(xy;)}1是不适定的 定理1202插值结点组(130)是插值问题(131)的适定结 点组,必须且只须 L10 (ruy, L(r,yuqi..L,(xi, y: )4 let L2o (*2,y2) Lo 52, y1)q1..L20(=2,y2)q L401(x4,y4)L如2(x4,ya)q…Lc0(x,y)q (133) 必须指出,(1.33)成立与否是与基础解系12,…94的选 择无关的。事实上,无论怎样选择另一组基础解系41,2…引 对应于(133)中矩阵的后d列与原先矩阵的后d列是可以相互表 示的。即无论如何选择q192;…,94(1.33)中矩阵后d列所支 架起的空间是不变的.因而再添上第一列 (L11(x1,y1),L21(x2,y2),…,L401(xy4)r 后,其相应矩阵的秩数也是不变的 定理121若(133)成立,则插值问题(1.31)的解(x,y) 可从下述行列式方程中解出 14◆
Is(r, y)co, (r, y) 02 x, y)qu xL0(x,y)L12(x1,)9…L1?x1,y1)94-0 L41(x,y4)L。o(x,ya)q1…L42(x4y)q (1.34) 其中q,…,q为(125)的任一组基础解系 在文献[I]中,我们还给出了下面两个算例 例1设区域D为三角形123,其中1(1,0),2(0,1),3(-1, 1).取点7(0,0),并连线段7,1,7,2,和7,3以形成对D的剖 分△.即D被剖分为三个三角形胞腔712,723,和731 采用维数公式(127),可求出 dimS△)=12 除了上面四个网点外,还再取其它八个插值结点:4(1!2,1/2), 5(2/3,1/3),6(0,1/2),8(-1/3,1/3),9(1/3,-1/3),10(-1/2 0),11(0,-1/2),和12(1/3,1/3)。取三角形237作为源胞腔,并 以一条按逆时针方向绕点7流动的流向作为流向图 由多元样条函数表现定理(定理114),(x,y)必可表示为 s(x,y)-以(x,y)+(x-y)·q(x,y) y·q2(x,y)十x9x,y) 其中p(x,y)∈P3,9(x,y)∈P,i-1,2,3 设被插函数为z一x2y2,则以前述12个点作为结点的插值 样条函数可算得为 s(x,y)=-0.092593x-0.092593x2+0.38889y 0.96295x3-1.6111x2y+0.037075y +(-07778x+0.1111y)·(x-y) +(x-0.1111y):y2+(-0.7778x 1.66667y)·x2 例2设区域D为一正六边形123456,其各顶点坐标分别为 1(1,0
4(-1,0 5 6 分别连接1,4,2,5和3,6线段,则得到D的剖分△.该剖分的内 閃点为0=(0,0).内网线0,记为r;l(x,y)〓0,;-1, 虽然采用维数公式(127),可以箅出 dimS△)一21 但是我们仅打算考虑S△)中的一个子空间上的插值问题。选 定061作为源胞腔,绕0画一条逆时针的流向图d,并强制性地 规定r1与「4r2与r,F与F6等上的光滑余因子分别两两 异号.自然此时在0点处的协调条件被满足 给定插值条件 )=a(i)-0,;-1, : 经计算可得满足以上插值条件的多元样条函数为 s(x:y)-1+0.31807×10-x-0.23285×10-y 30000x2-2.3095xy-43335y2 +2.000x3+2.3095xy+l.99xy2 23096y+{[1xy)]-一【4(x,y)1 q(x,y)+{[lx,y)]一[4(x,y)]} ·q:x,y)+{[l4(x,y)]-【x(x,y)]3 qs r, y 其中 1(xy)-0.26182×10-x+3.0795y+2668 92(xy)一-0.66665x+0.38489y-0.6668, 93(xy)=0.6668x+0.38489y-0.6668 §4.异度样条与带权样条 前面讨论的多元样条函数,都是以阶光滑度来连接各相邻
胞腔的。在许多实际问题,如汽车、造船、航空航天、以及模具等领 域中的多数问题里,人们需要的曲面并不是处处都是以同一的光 滑度相连接的。再加上,数学理论研究的需要,促使我们要研究所 谓异度样条函数。在文献[2]中,我们提出并研究了异度样条函数 问题。 采用本章§1中的一切记号,设相应于剖分△的内网线为 r;l(x,y)-0,=1,…,M,l(xy)∈P为不可约多项式,△ 上的分片k次多项式函数s(x,y),如果在诸T,上具有g;阶 连续偏导数,则称x,y)为一异度多元样条函数,记为式(x,y)∈ S(△),其中一(a12,…,B}) 对于这里所定义的异度样条函数来说,只须作适当的修改(将 统一的p,改为p,i-I,…,N等),则前面的几乎所有的 结论照样成立.例如只须将协调条件和整体协调条件((L14)和 (1.15))改为 ∑A4(x,y)]“9;(x (114 和 EA【l2(x,y)]“+·g(x,y)≡0,”=1,…,M,(115 其中q(x,y)∈Pkm,+,则定理15照样成立(其中应改为 类似地我们也有 貢一n(;+1) dimS(△)= (1.26y 其中a为作了相应修改后的线性方程组(125)的系数矩阵B的 秩数 在数学物理问题中,常要求所求函数满足边界条件 p(r,y (135) 其中0D为D的边界,0D:((x,y)-0. 对于任何连续函数g(),只要g(0)-0,则形如(x y))p(x,y)+y(x,y)的函数必自动满足条件(135),其中(x
y)∈P 考虑形如 G(r, yP (x, y)+ p(r, y), (x,y)ED, (136) 的分片函数,其中G(x,y),(x,y)为给定的连续函数,且A(x y)∈Pt 设G(x,y)∈C“(D),且 z(G):-{(xy)∈D|G(x,y)-0} 假定对给定剖分△,每条内网线F上的点集ri-z(G) 的点数不少于k+1,记为 NP{r计-z(G)}≥k+1,V (137) 形如(136)且于D上具有阶连续偏导数的分片函数称为带 权样条函数,记为GSr(△),或GS(△,q) 与§1类似地,我们有 定理1.21四设S(x,y)于相邻两胞腔D,D,上的表达式分 别为P(x,y),P;(xy),则为使只(xy)∈C"D;∪D;)必须且只 须存在4;(x,y)∈Pk-1,使得 P(x,y)-PAx,y)一[l;(x,y)]+·G(x2y)·9;x,y) (138) 其中ri;l;x,y)一0为D,与D,的公共内线 相应的协调条件和整体协调条件分别为 G(x,y)EA[l1(x,y)]·x:y)≡0 (139) 和 G(x,y)EA[l1(x,y)]·q;(x,y)≡0,=1,…,M 进而有 定理12(x,y)∈GS△),必须且只须对每一内网线 (x,y)均有一光滑余因子存在,并且满足整体协调条件(140) 在本书第二章中,我们还将介绍一些特定情况下的带权多元 样条函数空间