2°乙穿过每条内网线的次数不多于1; 3°C不允许穿过网点 形象地说以上所定义的流向图,相当于一条河流,它发源于D 中的某个胞腔并且流遍一切胞腔 应该指出,流向图乙允许有分支(相当于河流的支流),即d 可以不是“一笔面” 显然,￠的选择不是唯一的.但这并不影响我们下面的讨 论 流线C所经过的内网线称为相应于的本性内明线,其它 内线称为相应于的可去内咧线.显然所谓本性内线与可 去内网线都只是一个相对概念 设r∷l;(x,y)0为乙的任一条本性内网线。将从源胞 腔出发,沿2前进时,只有越过r;后才能进入的所有闭胞腔的 并集记为U(r).将从源胞腔出发沿d前进时,在越过Fa之 前所经各闭胞腔的并集记为U(r).称U(r#U(『为阏线 r;的“前方”,记为fr;)。它相当于一条河流的下游 定义1设r;ln(x,y)一0为相应于流向的本性 内网线,多元广义截断多项式定义为 ;(xy);→J[tl;(x,y)]",当(x,y)∈f(r), 当(x,y)∈D一f(F;) (120) 定理1132任一s(x,y)∈s;(△)均可唯一地表示为 x(x,y)-p(x,y)+El(x,y)]·9;(x,y),(x,y)∈D, (121) 其中px,y)∈P为(x,y)在源胞腔上的表达式,E表示对 所有本性内网线求的和,而且沿C越过T:l(xy)一0的光 滑余因子为9x,y)∈Pk- 由光滑余因子的定义和定义12,不难直接证明定理1.13 按(121)给出的任一个函数(xy)是否一定是S△)中 的多元样条函数呢?回答是否定的。事实上,对于任意给定的
p(x,y)和q;(x,y),由(1.21)表示的式(x,y)未必满足整体协 调条件,即未必能保证单值性 相应流向图的所有可去内线F;:h1x,y)0的广义 截断多项式定义为[l;xy)]0,(x3y)∈D,则如下定理成 立 定理142对于给定的剖分△与确定的流向图2,s(x,y)∈ Sz△),必须且只须 s(r,y=p(r, y)+allii(r,y)]:+ (x,y),(x,y)∈D (122) EA,[l;(x,y)}+·分1(x,y)≡0, 其中2为对一切内线所求的和,?(xy)与q;(x,y)的意义 同定理113,而A,取遍所有内网点 从定理114出发,文献[1]中已经指出了在矩形剖分△下 s△)和S△)的表达式,设△由下述两簇直线所形成: y-yt,y y2 <x’y1<y2< 则有如下推论(请读者根据定理114自行证明) 推论115(x,y)∈S△),必须且只须(x,y)可表达为 s(*,y)∞以(x,y+∑(a;x+b;y+c;)(x,一x) ( x bi y ci)(r=)i (123) +∑(a;x++v;)(y-y)2 +∑(ax+8y+7)(y-y) 其中(x,y)是(x,y)于源胞整D,-{(x,y)x,≤x≤x+ y,≤y≤y+}上的表达式(3次多项式)
(xy)∈(△),必须且只须s(x,y)可表达为 (x,y)-以(x,y)+∑cx:-x 2c(x-x;)十∑4(y-y)(1.24) ∑dy-y;), 其中(xy)的意义同(123)中所指 有关多元祥条的表现方法在80年代后又侑了进一步的发 展。有关这方面的详细介绍,我们将在下一章中给出 有了多元样条函数的表达式,人们就可能进一步讨论多元样 条的插值理论、最佳逼近、以及各种理论及应用问题 §3.多元样条函数插值 设与整体协调条件(115)相对应的齐次线代数方程组为 BQ·0, (125) 其中Q为由各内网线上的光滑余因子的系数依次作为分量所组成 的列向量矩阵B中的各元素由【l;(x,y)]+展开式的系数所组 成 若以N记剖分△中内网线的总数,且第i条内网线的次数(即 相应不可约代数曲线的次数)为n;则齐次线性方程组(125)中 宋知数的个数为∑ 一n1(B+1)+2 若记σ- rank B, 2 则按线代数理论,(125)解空间的维数为 N、受一(P+1)+2 十2 再加上“源胞腔”内的自由度 即有如下定理 ·11
定理116 k+2 dim St(△) 十 ;( (1.26) 特别地,如果各内网线均为直线段,则有 定理11702 十 R一+ dims(△) 十N σ,(127) 其中N和a的函义同定理116,即N为内网线总数,σ为整体协调 条件对应的齐线性方程组(115)系数矩阵B的秩数 虽然定理116与定理1.17从原则上给出了多元样条函数空 间s(△)的维数公式,但a的计算是复杂的,有时它还依赖于剖 分△的几何性质。这些我们将在第二章中讨论 取定(1.25)的一个基础解系 922 qa2 +2 其中1〓 dim sit△)一 则(1.25)的通解为 其中am2;…吗为实数 引人记号 X一(x,xy 并记l1(x,y),…,lm(x,y)为所有内网线,由定理1l4,任 s(x,y)∈Sr(△)均可表示为 (r, y)- P(x, y) )}·4(x,y) (128) 其中各【认(x,y)]+为按同一流向图所定义的广义截断多项式, q(x,y)为内线r;1(xy)=0上的光滑余因子,而x,y) 为源胞腔上的次多项式, 记 c1(x2y)〓(X X) 12
(x,y)〓([l;x,y)]+1X [4(x,y)] X [ly(x,y)]*+1X o(x,y)一1(x,y)+2(x,y), (1.28)可改写为 P x,y)P十ω2( (ω1(x,y),:(x,y)q1 2(, y )qu 其中P为以p(x,y)诸系数为分量的向量,而 c1 为叙述方便计,记 d a dims△).设L1,…,Lt为线性算子, 它们之间不必是互异的.如恒等算子L5(x,y)≡5(x,y),各种 偏微分算子Ls(x,y)≡ 6r0 s(x,y)等。L;也可为积分线 性泛函 P(r, y)s(r, y)drdy, 其中权函数p(xy)满足条件 x,y)≥0,(x,y)∈D (r,y)dxdy >0, 等等 对于给定的插值结点组 (x;y; 研究插值问题 Lis(xiayu) (13】) 其中1,2,…,z4为一组给定的实数。 插值问题的确切提法是:如何选择恰当的插值结点组(130), 使得对于任意给定的实数组x1,z2…,z4满足插值条件(131)的