n(x,y)=P(x,y)一P(x,y)一[l1x,y)]H·%(x,y), (110 其中qA(x,y)∈Pk-(+1 由定理13中(14)式所定义的多项式因子q;x,y)称为内 线.Iil(x,y)〓0上的(从D;到D,的)光滑余因子,说 明内网线F上的光滑余因子存在,恒指形如(14)的等式成立 作为定理13的一个直接推论,我们有 推论1.4设剖分△的内网线r1,…,r的次数分别为 n,…,η为使S#(△)中存在非蜕化(即真正“分片”)的函数, k与"必须满足 k≥(p+1)·minm2 (111) 定理13表明多元样条函数s(x,y)∈S(△)具有一种所谓 半解析延拓的性质。即两相邻胞腔上(x,y)的表达式之间只差 个形如(14)式右端所示的修正项.然而定理1.3尚不能完全 表征多元样条函数的内在性质。为给出多元样条函数的完整的理 论框架,我们还须作进一步的探讨 记两相邻胞腔D;与D;的公共内网线为T±l;x,y)一 0.虽然F计的方程既可写为l∴x,y)0,又可写为-l;(x, y)=0,但为讨论方便计,在整个讨论过程中我们将取定它的一 种形式。并且我们规定 i-Tiii Iii cx, y )i (r, y) 1.12) 由(14),T;上的光滑余因子q;(x,y),与F上的光滑 余因子9;(x,y)满足关系式 q(x,y)≡-9;(x,y) (1.13) 设A为任一给定的内W点。今按下列顺序将过A的所有内网 线{r}所涉及的i和j进行调整:使当一动点沿以A为心的 逆时针方向越过F;时,恰好是从D;跨入D 设A为一内网点,定义A点处的“协调条件”( Conformality Condition)为
EA[l1(x,y)]+·9(x,y)≡0, 其中∑4表示对一切以内网点A为一端的内啊线所求的和,而 g;(x,y)为r;上的光滑余因子 设△的所有内题点为A1,∴,AM,则“整体协调条件 Global Conformality Condition)*q ∑A[l1(x,y)]·f;x,y)≡0,y-1,,M,(1.15 其中相应于内网点A,的协调条件之qxy)满足(114)中所 作的规定 下述定理建立了多元样条的基本理论框架: 定理15对给定的剖分△,多元样条函数xy∈S△) 存在,必须且只须(x,y)在每条内网线上均有一光滑余因子存 在,并且满足由(115)所示的整体协调条件, 事实上,各内阏线上光滑余因子的存在性等价于该分片多项 式的C光滑连续性。各内两点处的协调条件被满足,即整体协 调条件被满足,又等价于该分片多项式函数在整个区域上的单值 性。所以定理15成立。有关细节请读者自行给出(参考文献 [11) 若样条函数5(x,y)∈S△)于某一点v的关联区域S(V) 上处处为同一次多项式,则称(x,y)于St(V)处是蜕化的如 果s(x2y)在所有胞腔上均为同一个次多项式,则称它是整体 蜕化的。根据定理15,xy)于St(V)是蜕化的,意指相应于 网点V的协调条件(4)只有零解;而整体蜕化则意味着整体协 调条件(115)只有零解 鉴于人们的目的是利用多元样条函数来研究一些理论或实际 问题,因而感兴趣的是如何适当选择剖分△,次数,以及光滑 度p使得非蜕化的多元样条函数存在。定理15表明,多元样条 函数同一元样条函数之间存在着质的差别、区域D,剖分△,分 片多项式的次数k,以及光滑度阵之间的微妙关系,即整体协调 条件(115)影响和最终决定了多元样条函数,事实上,定理L5 指出,多元样条函数在一定意义上等价于由(115)所对应的线性 5
代数问题:关于光滑余因子中各系数间的一个齐次线性方程组问 题。而这一类齐次线性方程组的解的存在性及其性质,自然就成 为多元样条函数研究的关键所在 若区域D的边界D由一些不可约代数曲线所组成,今以 这些不可约代数曲线作为对整个乎面R2的一些剖分内网线,它 们连同原来对D的剖分△一起,构成了对R2的一个剖分,称之 为整体剖分.此时R八D也是△的一个胞腔 作为定理15的一个直接推论,我们有 推论16对整体剖分区,存在5(x,y)∈),必须且只 须孔(xy)于每条线上均有光滑余因子存在,并且形如(15) 的整体协调条件于一切閃点处均被满足 不难看出,协调条件保证了x,y)在△和区上的单值性 如果区域D不是单连通域,例如D是一个具有h个“洞”的复连通 域,则定理5和推论6仍然成立,只须再添加一组附加的“洞协调 条件” EB,【l1(x,y)}m+·q(x,y)≡0,r-1,……,h(116) 就可以了,其中Σ,表对过第r个洞的一切现线求和,而(116) 中其它符号的意义同(114)、(115) R2上任一条直线「:(x,y)≡ax十b十c=0显然是一 条不可约代数曲线。因此对于一切以直线作为网线的剖分来说, 上述的所有结论仍然是成立的。例如 定理17设x5(x,y)于两相邻胞腔D,与D;上的表 达式分别为k次多项式z〓P(x,y)与zP(x,y),为使 (x,y)∈c“D,UD),必须且只须存在多项式4;(xy)∈Pk-, 使得 P2(x,y)-(x,y)=[l1xy)]·q;(xy),(117) 其中ri;l;(xy)≡叫;十b;y十c;-0为D,与D;的公共 内阏线 定理18对给定直线剖分△,样条函数(xy)∈△), 必须且只须s(x,y)于每一条内网线上均有一光滑余因子存在
并且满足整体协调条件 ΣA,[l(x,y)]+·g;(xy)≡0 (118 其中A取遍一切内点l(x,y)一ax十by+c;一0为过A 的内线,(x,y)为Pk-n-1中与之相应的光滑余因子 文献[中给出的命题表明,若于D的边界∂D上有约束条 件,要想对任意三角剖分得到属于C'的二元样条函数,分片多项 式的次数一般不低于5,除非对三角剖分加以特殊选择。 若区域D的剖分△是这样形成的:其所有阙线为一些贯穿区 域D的直线切割而成,则称这样的剖分△为“贯穿剖分”田鉴于 此类贯穿剖分的特殊性,可证得 定理19若剖分△是贯穿剖分,则非蜕化的多元样条函数 5(x,y)∈隕(△),≥+1恒存在 设rxa;+b;y+c;-0为任一条形成剖分△的直线。定 义 r;〓(x,y)∈D|a;x+b;y+c;<0} r+一{(x,y)∈D|a;x+b;y+G;>0 对于剖分△中任一由r;派生的网线段r∈r,如果规定同一 个非零多项式乐(x,y)∈Pk作为r;的从r;到r的光 滑余因子,则不难看出相应的整体协调条件必然被满足。故定理 19成立,特别地,我们有 推论1100若△为任一矩形剖分,则非蜕化的多元样条函 数(x,y)∈S△),≥p+1恒存在 设△为给定的剖分.对任意事先指定的非负整数p,是否存 在适当的正整数k,使得非蜕化的s(x,y)∈S△)存在?答案 是肯定的。即有 定理111任意给定非负整数μ,无论与区域D进行怎样 的剖分△,总可以找到适当的正整数攵,使得非蜕化的x(x,y)∈ SΔ)存在 事实上,对任一剖分△,内两点A处的协调条件形如 ∑A[l(x,y .19
其中F:4(x,y)=0为过A的内啊线,9(x,y)∈P为与之 相应的光滑余因子 由(19)决定的是一个关于q(xy)各系数的齐次饯性方程 组。若以N记过A点的所有内网线的条数(自然N≥2),则该齐 次线性方程组未知数的个数为 M=1N·(k-p)(一p+1) 因此,只要适当地大,M就可大于该方程组中方程个数 k十1)(十2)/2. 从而该齐次线性方程组必有非零解存在 从理论和应用两个角度上看,分片多项式的次数越高,则 s(x,y)∈SX(Δ)的参数就越多,并且孓(xy)的凸凹现象就越严 重,而这些正是人们所不期望的 所以在多元样条函数的理论和应用问题中的一个重要间题 是:对于给定的剖分△和指定的光滑度,如何选取尽可能低 的次数k,使得非蜕化的式(x,y)∈5(△)得以存在?这个问题 是一个很复杂的问题。虽然前面的推论14从一个侧面部分地回 答了此问题,但该问题远非如此简单。事实上它还与剖分△本身 的内在性质密切相关 §2.广义截断多项式与多元样条函数 般表达式2 在51定理13中已指出了多元样条函数的逐片半解析延拓 性质,由此人们不难建立多元样条函数的一般表达式, 设区域D被剖分△分割为如下有限个胞腔 1;2 任意取定其中一个胞腔,例如D作为“源胞腔(相当于一条河流 的“源头”)从源胞整D1出发画一流向图乙,使之满足 1°c流遍所有胞腔D1,…,Dy各一次;