一般地求一条曲线使数据点均在离此曲线的上方或 下方不远处所求的曲线称为拟合曲线 它既能反映数据的总体分布又不至于出现局部较大的 波动,更能反映被逼近函数的特性使求得的逼近函数与已知 函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小 图1曲线拟合示意图
y • • • • • • • • o x • • • • • • • • 图1 曲线拟合示意图 一般地,求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或 下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线. 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的 波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知 函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小
注: 与函数插值问题不同曲线拟合不要求曲线通过所有已知点 而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系在某种意义上 曲线拟合更有实用价值 在对给出的实验(视测)数据作曲线拟合时怎样才算拟合得最好 呢?一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的误差为最小,即距 离为最小不同的度量意义) 两种逼近概念 插值:在节点处函数值相同 拟合:在数据点处误差最小
与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点, 而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系.在某种意义上, 曲线拟合更有实用价值. 在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好 呢？一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的误差为最小，即距 离为最小(不同的度量意义). 两种逼近概念: 插值: 在节点处函数值相同 拟合: 在数据点处误差最小 注：
曲线拟合的最小二乘问题一般提法P48 根据给定的数据组(x,y)(=12,…,m),选取近似函数 0(x)∈d:(x)=a090(x)+a192(x)+…+an,9n(x)(31) 使得I(ao,a1 ∑P[(x,) ∑D∑a,0(x,)-y]2(32) 达到最小
曲线拟合的最小二乘问题一般提法 P.48 根据给定的数据组 ( , ) i i x y (i =1,2, ,m) ,选 取近似函数 ( ) x : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 x a x a x a x = + ++ n n (3.1) 使得 = = − m i n i i i I a a a x y 1 2 0 1 ( , ,, ) [( ) ] = = = − m i i n j i j j i a x y 1 2 0 [ ( ) ] (3.2) 达到最小
由极值的必要条件可得 2∑mE∑a9(x)-y,(x)=0 (qq)=(q9 ∑aA∑P(x柳(x=∑Py9(x),j=01…,n(33) k=0=1 i=1 用矩阵表示法方程为 (02q0)(021)…(029n) (y,0o) (q1,90)(2)…(q1,n) (y,91) (3.5) (n,9)(qn,9)…(qn,9n)人an)(yqn,)
由极值的必要条件可得 = = = − = m i i j i n k i k k i j a x y x a I 1 0 2 [ ( ) ] ( ) 0 , j = 0,1, ,n = = = = m i j i i i j i n k k i m i k i a x x y x 0 1 1 [ ( ) ( )] ( ) , j = 0,1, ,n （3.3） 用矩阵表示法方程为 = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 n n n n n n n n y y y a a a （3.5） (φ𝑖 , 𝜑𝑗)=(φ𝑗 , 𝜑𝑖)
用最小二乘解决实际问题基本步骤如下: (1)确定近似函数类,即确定近似函数y=(x)的形式 这并非单纯的数学问题与其它各领域的专门知识有关 数学上,通常根据在坐标纸上所描点的情况来 选择(x)的形式 (2)求最小二乘解。 即求使残差的平方和最小的(x)中的待定参数
用最小二乘解决实际问题基本步骤如下： (2) 求最小二乘解。 (1) 确定近似函数类,即确定近似函数 y = (x) 的形式。 这并非单纯的数学问题,与其它各领域的专门知识有关. 数学上, 通常根据在坐标纸上所描点的情况来 选择 ( ) x 的形式. 即求使残差的平方和最小的 中的待定参数. (x) 2 2 2 1 m i i = =