的积的两倍。 a2-b2+c2-2bccos as cos a=b+c-s 2=a'+b2-2abcosc e cosc=a+b--c 2ab [问题]对于任意一个三角形来说,是否可以根据一个角和夹此角的两边,求出此角的对边? [推导]如图在△ABC中,AB、BC、CA的长分别为c、a、b AC= AB+BC ∴AC·AC=(AB+BC)·(AB+BC) a AB+2AB·BC+BC A B AB +2 AB BC cos(180-B)+ 2accos b+ a 即b B 同理可证a2=b2+c2-2 bc cos a,c2=a2+b2-2 ab coso 2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。 三、讲解范例 例1在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C cOSO a-+b 08071, ∴B=180°-(A+C)≈100°。 sin a 0。5954,∴C≈36°或144°(舍)。 用心爱心专心
用心 爱心 专心 6 的积的两倍 奎屯 王新敞 新疆 即 a b c 2bc cos A 2 2 2 = + − bc b c a A 2 cos 2 2 2 + − = b c a 2ac cos B 2 2 2 = + − ca c a b B 2 cos 2 2 2 + − = c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ab a b c C 2 cos 2 2 2 + − = [问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？ [推导] 如图在 ABC 中， AB 、 BC 、CA 的长分别为 c 、a 、b 奎屯 王新敞 新疆 ∵ AC AB BC = + ∴ AC AC AB BC AB BC • = + • + ( ) ( ) 2 2 = + • + AB AB BC BC 2 2 2 = + • − + AB AB BC B BC 2 | | | | cos(180 ) 2 2 = c − 2ac cos B + a 即 b c a 2ac cos B 2 2 2 = + − 同理可证 a b c 2bc cos A 2 2 2 = + − ，c a b 2abcosC 2 2 2 = + − 2．余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 奎屯 王新敞 新疆 三、讲解范例： 例 1 在ΔABC 中，已知 a＝7，b＝10，c＝6，求 A、B 和 C 奎屯 王新敞 新疆 解：∵ bc b c a A 2 cos 2 2 2 + − = ＝0 奎屯 王新敞 新疆 725， ∴ A≈44° ∵ ab a b c C 2 cos 2 2 2 + − = ＝0 奎屯 王新敞 新疆 8071， ∴ C≈36°, ∴ B＝180°－(A＋C)≈100°奎屯 王新敞 新疆 (∵sinC＝ a c sin A ≈0 奎屯 王新敞 新疆 5954,∴ C ≈ 36°或 144°(舍) 奎屯 王新敞 新疆 ) c a b A B C
例2在△ABC中,已知a=2730,b=3696,C=82°28′,解这个三角形 解:由c2=a2+b2-2 ab cos c,得c≈4297 ≈07767 A≈39°2′ bc B=180°—(A+C)=58°30′。 (∵sinA=asnC 06299,∴A=39°或141°(舍) 例3△ABC三个顶点坐标为(6,5)、(-2,8)、(4,1),求A 解法一::|AB=√6-(-2)2+(5-8)=√73 BC|=y(-2-4)2+(8 )2+(5-1)2=25 OS A AB √365 解法二:∵AB=(-8,3),AC=(-2,-4) ∴cosA= AB·AC(-8)×(-2)+3×(-4 A≈84° AB(4C|73×2 例4设a=(x,y)b=(x,y)a与b的夹角为(0≤≤), 求证:x1x+yy2=|a| b cost0 证明:如图,设a,b起点在原点,终点为A,B 则A=( AB=b-a 在△ABC中,由余弦定理 b-a|=1|a|+|b|2-2|ab6|cose |b-a|2=|AB|2=|(x2-x1,y2-y)|2=(x2-x)2+(y2-y) a|=x2+y2,|b (x2-x)2+(y2-y1)2=x12+y2+x2+y2-2|a||b|cose 用心爱心专心
用心 爱心 专心 7 例 2 在ΔABC 中，已知 a＝2 奎屯 王新敞 新疆 730，b＝3 奎屯 王新敞 新疆 696，C＝82°28′，解这个三角形 奎屯 王新敞 新疆 解：由 c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ，得 c≈4 奎屯 王新敞 新疆 297 奎屯 王新敞 新疆 ∵ bc b c a A 2 cos 2 2 2 + − = ≈0 奎屯 王新敞 新疆 7767， ∴ A≈39°2′, ∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′奎屯 王新敞 新疆 (∵sinA＝ c a sin C ≈0 奎屯 王新敞 新疆 6299，∴ A=39°或 141°(舍) 奎屯 王新敞 新疆 ) 例 3 ΔABC 三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求 A 奎屯 王新敞 新疆 解法一：∵ |AB| ＝ [6 ( 2)] (5 8) 73 2 2 − − + − = |BC| ＝ ( 2 4) (8 1) 85 2 2 − − + − = |AC| ＝ (6 4) (5 1) 2 5 2 2 − + − = AB AC AB AC BC A + − = 2 cos 2 2 2 = 365 2 ∴ A≈84°奎屯 王新敞 新疆 解法二：∵ AB ＝(–8，3)， AC ＝(–2，–4) 奎屯 王新敞 新疆 ∴ cosA＝ AB AC AB AC • = 365 2 73 2 5 ( 8) ( 2) 3 ( 4) = − − + − ,∴ A≈84°奎屯 王新敞 新疆 例 4 设 a =(x1, y1) b =(x2, y2) a 与 b 的夹角为 （0≤≤）， 求证：x1x2+ y1y2=| a || b |cos 证明：如图，设 a , b 起点在原点，终点为 A，B 则 A=(x1, y1) B=(x2, y2) AB = b − a 在△ABC 中，由余弦定理 | b − a | 2 =| a | 2 +| b | 2 −2| a || b | cos ∵| b − a | 2 =| AB | 2 =|(x2-x1, y2-y1)|2 =(x2-x1) 2 +( y2-y1) 2 | a | 2 =x1 2 +y1 2 ，| b | 2 = x2 2 +y2 2 ∴(x2-x1) 2 +( y2-y1) 2 = x1 2 +y1 2 + x2 2 +y2 2 −2| a || b | cos 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 2 4 6 8 C B A