《概率论与数理统计》 学习手册 内容提要 ·疑难分析 例题解析 白先春编
《概率论与数理统计》 学习手册 ·内容提要 ·疑难分析 ·例题解析 白先春 编
目录 第一章随机事件及其概率 第二章随机变量及其分布 第三章多维随机变量及其分布 第四章随机变量的数字特征 41 第五章大数定律和中心极限定理 50 第六章数理统计的基本概念. 第七章参数估计 第八章假设检验. 第九章方差分析和回归分析
1 目 录 第一章 随机事件及其概率............................... 2 第二章 随机变量及其分布............................. 15 第三章 多维随机变量及其分布........................ 29 第四章 随机变量的数字特征 .......................... 41 第五章 大数定律和中心极限定理 ..................... 50 第六章 数理统计的基本概念 .......................... 55 第七章 参数估计....................................... 61 第八章 假设检验....................................... 68 第九章 方差分析和回归分析 .......................... 73
第一章随机事件及其概率 内容提要 1、随机试验、样本空间与随机事件 (1)随机试验:具有以下三个特点的试验称为随机试验,记为E 1)试验可在相同的条件下重复进行 2)每次试验的结果具有多种可能性,但试验之前可确知试验的所有可能结 3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现 (2)样本空间:随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间, 记为Ω:试验的每一个可能结果,即Ω中的元素,称为样本点,记为e (3)随机事件:在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件, 简称事件,常用A、B、C等大写字母表示;可表述为样本空间中样本点的某个集 合,分为复合事件和简单事件,还有必然事件(记为Ω2)和不可能事件(记为Φ) 2、事件的关系与运算 (1)包含关系与相等:“事件A发生必导致B发生”,记为AcB或BA A=B分AcB且BcA (2)和事件(并):“事件A与B至少有一个发生”,记为A∪B (3)积事件(交):“事件A与B同时发生”,记为A∩B或AB (4)差事件、对立事件(余事件):“事件A发生而B不发生”,记为A-B 称为A与B的差事件:g-B=B称为B的对立事件;易知:A-B=AB
2 第一章 随机事件及其概率 内 容 提 要 1、随机试验、样本空间与随机事件 （1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为 E. 1）试验可在相同的条件下重复进行； 2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结 果； 3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现. （2）样本空间：随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间， 记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为 e. （3）随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件， 简称事件，常用 A、B、C 等大写字母表示；可表述为样本空间中样本点的某个集 合，分为复合事件和简单事件，还有必然事件（记为 ）和不可能事件（记为 ）. 2、事件的关系与运算 （1）包含关系与相等：“事件 A 发生必导致 B 发生”，记为 A B 或 B A ； A = B A B 且 B A. （2）和事件（并）：“事件 A 与 B 至少有一个发生”，记为 A B . （3）积事件（交）：“ 事件 A 与 B 同时发生”，记为 A B 或 AB . （4）差事件、对立事件(余事件)：“事件 A 发生而 B 不发生”，记为 A－B 称为 A 与 B 的差事件； − B = B 称为 B 的对立事件；易知： A − B = AB
(5)互不相容性:AB=φ;A、B互为对立事件台→A∪B=9且 AB=g (6)事件的运算法则:1)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA 2)结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,(ABC=A(BC) 3)分配律:(A∪B)C=AC∪BC,(AB)∪C=(A∪CXB∪C); 4)对偶( De Morgan)律:A∪B=AB,AB=A∪B,可推广 U4=∩4,∩4=U4 3、频率与概率 (1)频率的定义:事件A在n次重复试验中出现n,次,则比值称为事 件A在n次重复试验中出现的频率,记为fn(4),即fn(A)= (2)统计概率:当n→∞时,频率∫n(A) →P(A).当n很大时, n P(A)=P≈f(A)称为事件A的统计概率 (3)古典概率:若试验的基本事件数为有限个,且每个事件发生的可能性相 等,则试验对应古典概型(等可能概型),事件A发生的概率为 P4中所含样本点数_k_k(A) Q中样本点总数nn (4)几何概率:若试验基本事件数无限,随机点落在某区域g的概率与区域 g的测度(长度、面积、体积等)成正比,而与其位置及形状无关,则试验对应几何 概型,“在区域Ω中随机地取一点落在区域g中”这一事件A4发生的概率为: P(4)=8的测度
3 （5）互不相容性： AB = ； A、B 互为对立事件 AB = 且 AB = . （6）事件的运算法则：1) 交换律： A B = B A ， AB = BA ； 2) 结合律： A (B C) = (A B) C ，(AB)C = A(BC) ； 3) 分配律： (A B)C = AC BC ，(AB) C = (AC)(B C) ； 4) 对 偶 (De Morgan) 律 ： A B = AB ， AB = A B ，可推广 k k k k k k k Ak = A , A = A . 3、频率与概率 （1）频率的定义：事件 A 在 n 次重复试验中出现 A n 次，则比值 n nA 称为事 件 A 在 n 次重复试验中出现的频率，记为 f (A) n ，即 n n f A A n ( ) = . （2）统计概率：当 n → 时，频率 ( ) P(A) n n f A A n = → .当 n 很大时， P(A) P f (A) = n 称为事件 A 的统计概率. （3）古典概率：若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相 等，则试验对应古典概型（等可能概型），事件 A 发生的概率为： n k A n A k P A ( ) ( ) ＝ ＝ 中样本点总数 中所含样本点数 = . （4）几何概率：若试验基本事件数无限，随机点落在某区域 g 的概率与区域 g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何 概型，“在区域 中随机地取一点落在区域 g 中”这一事件 Ag 发生的概率为： 的测度 的测度 ＝ g P Ag ( )
(5)概率的公理化定义:设(g,F)为可测空间,在事件域F上定义一个实 值函数P(A),A∈F,满足:1)非负性:P(A)≥0,对任意A∈F;2)规范 性:P(2)=1:3)可列可加性:若有一列A∈F,l=12,…,AA=Φ,使 得P(A)=∑P(A),则称P(A),A∈F为σ域F上的概率测度,简称“概 率 4、概率的基本性质 (1)不可能事件概率零:P(Φ)=0 (2)有限可加性:设A1,A2,…,A是n个两两互不相容的事件,即AA= Φ,(i≠j),i,j=12,…n,则有P(A1∪A2u…An)=P(A1)+ P(A2)+…+P(A) (3)单调不减性:若事件B=A,则P(B)≥P(A),且 P(B-A)=P(B)-P(A).(4)互补性:P(A)=1-P(4),且P(A)≤1.(5)加法公 式:对任意两事件A、B,有P(A∪B)=P(A+P(B)-P(AB);此性质可推 广到任意n个事件A1,A2,…An的情形 (6)可分性:对任意两事件A、B,有P(A)=P(AB)+P(AB) 5、条件概率与乘法公式 (1)条件概率:设A、B是9中的两个事件,即A、B∈F,则 P(B/A=P(AB) P(A) 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
4 （5）概率的公理化定义：设( , F )为可测空间，在事件域 F 上定义一个实 值函数 P(A), A F ，满足：1) 非负性： P(A) 0 ，对任意 A F ；2) 规范 性： P() = 1 ；3) 可列可加性：若有一列 A F ,i =1,2, , i i Ai Aj = ，使 得 = = = 1 1 ( ) ( ) j j j P Aj P A ，则称 P(A), A F 为 域 F 上的概率测度，简称“概 率”． 4、概率的基本性质 （1）不可能事件概率零： P() ＝0. （2）有限可加性：设 A A An , , , 1 2 是 n 个两两互不相容的事件，即 Ai Aj ＝ ，（ i j ） ,i, j = 1,2, n ，则有 ( ) P A1 A2 An ＝ ( ) P A1 ＋ ( ) ( ) P A2 ++ P An . （3）单调不减性：若事件 B A，则 P(B) P(A)，且 P(B－A)＝P(B)－P(A).（4）互补性：P( A )＝1－P(A)，且 P(A) 1.（5）加法公 式：对任意两事件 A、B ，有 P(A B) = P(A) + P(B) － P(AB) ；此性质可推 广到任意 n 个事件 A A An , , , 1 2 的情形. （6）可分性：对任意两事件 A、B ，有 P(A) = P(AB) + P(AB) . 5、条件概率与乘法公式 （1）条件概率：设 A、B 是 中的两个事件，即 A、BF ，则 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = 称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率．