几何解释: 只要n充分大(m>N),在区间I上所有曲 线y=S(x)将位于曲线 y=s(x)+E与y=s(x)-E之间 y=s(x)+8 =(x) ly=S,(x) y=S(x)-8 0 上页
只要 n充分大 (n N),在区间 I 上所有曲 线 y s (x) = n 将位于曲线 y = s(x) + 与 y = s(x) − 之间. x y o I y = s(x) − y = s(x) + y = s(x) y s (x) = n 几何解释:
例2研究级数 十 x+1 x+2x+D+…+/1 x+nx+n-1/… 在区间0,+∞)上的一致收敛性 解Sn(x)= x+n 工工工 s(x)=lim s, (x)=lim =0(0sx<+) n→0 n=oox+n 王余项的绝对值 11 rn=s(x)-sn(x)=≤ (0≤x<+) x+nn 王页下
研究级数 + + − + + + + + − + + + 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x n x n 在区间[ 0,+ )上的一致收敛性. 例2 解 , 1 ( ) x n s n x + = 0 (0 ) 1 ( ) lim ( ) lim = + + = = → → x x n s x s x n n n 余项的绝对值 (0 ) 1 1 ( ) ( ) + + = − = x x n n r n s x s n x
对于任给E>0,取自然数N≥, 生则当n>N时,对于区间0+上的切x 有rn(x)<E, 根据定义, 工工工 所给级数在区间0,+o上一致收敛于s(x)≡0 上页
对于任给 0，取自然数 1 N ， 则当n N 时，对于区间[0,+]上的一切 x， 有 rn (x) ， 根据定义， 所给级数在区间[0,+]上一致收敛于s( x) 0
例3研究例1中的级数 x+(x2-x)+(x3-x2)+…+(x”-x"n)+ 在区间(0,1内的一致收敛性 解该级数在区间(0,1)内处处收敛于和s(x)≡0, 但并不一致收敛. 工工工 对于任意一个自然数n,取x=2 ,于是 s, (x, =x 2 但s(xn)=0,从而r(xn)=(x)-Sn(xn)= 2 上页
例3 研究例1中的级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 在区间( 0 , 1]内的一致收敛性. 解 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和s(x) 0， 但并不一致收敛． 对于任意一个自然数 n , 取 n n x 2 1 = ，于是 , 2 1 ( ) = = n n x n x n s ( ) = 0, x n 但 s . 2 1 从而 r n (x n ) = s(x n ) − s n (x n ) =
庄∴只要取8<2,不论多么大,在()总存在 点x,使得r(xn)>e, 因此级数在(0,1)内不一致连续 牛说明虽然函数序列(x)=x在(0,1)内处 收敛于s(x)≡0,但Sn(x)在(0,1)内各点处收 牛敛于零的“快慢”程度是不一致的 从下图可以看出: 上页
只要取 2 1 ，不论 n多么大，在(0,1)总存在 点xn， ( ) , n x n 使得 r 因此级数在( 0, 1 )内不一致连续． 说明: 从下图可以看出: 但 虽然函数序列 n s n (x) = x 在( 0, 1 )内处处 s(x) 0, s (x) 收敛于 n 在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的．