《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 向量 3-2 向量组的线性相关性

2（例5讨论向量组α,=2的线性相关性01（2）（2设存在z使得+z+=0，即解福(2)k,+k,+2k,=02k,-k,=0(1)k2+k-1+k,0=0（-1）（2（2）-k,+2k,+2k,=0由于齐次线性方程组(1）的系数行列式为D-0，故方程组（1)有非零解（可取k,=2,k,=4,k=-6)，因此所给向量组线性相关

例5 讨论向量组 的线性相关性.                               1 2 3 1 1 2 α = 2 ,α = -1 ,α = 0 -1 2 2                               1 2 3 1 1 2 2 + -1 + 0 = 0 -1 2 2 k k k 解 设存在k1  k2  k3 使得 k1 α1 + k2 α2 + k3 α3 = 0 , 即      1 2 3 1 2 1 2 3 2 0 2 0 2 2 0 k + k + k = k - k = -k + k + k = 由于齐次线性方程组(1)的系数行列式为D=0, 故方程 (1) 组(1)有非零解(可取k1=2 k2=4 k3 =-6), 因此所给向量 组线性相关

例6已知向量组αα线性无关，β=α+α2β2=α2+α3，β3α3+α，试证向量组β,β2,β,线性无关证设有,kz，s使得β+kzβz+kβ=0则k(α+α)+k(α2+α+k(α+α)-0即(ki+k2)αi+(kz+kg)α2+(ki+ks)αs=0因为αα2α线性无关，故有k,+k,=0此方程组只有零解k,-kz-k3=0kz+kg=0所以向量组β，，β，，β，线性无关k,+kg=0

例6 已知向量组   线性无关 1 =a1+a2  α1 2 3 +α1 2 3 α++0 α α+0=0 α =0 α1 2 3 + α +0α =0 2 =a2+a3  3 =a3+a1  试证向量组1  2  3线性无关 证 设有 k1  k2  k3 使得 k11+k22+k33 =0 则 (k1+k2 ) a1+ (k2+k3 ) a2+ (k1+k3 即 ) a3 = 0 k1 ( a1+a2 ) + k2 ( a2+a3 ) + k3 ( a3+a1 )=0 因为a1 a2  a3线性无关 故有      1 2 2 3 1 3 + = 0 + = 0 + = 0 k k k k k k 此方程组只有零解k1 =k2 =k3 =0 所以向量组1  2  3线性无关