注2:最大似然估计具有下述性质: 若O是未知参数0的最大似然估计, g(是0的严格单调函数, 则g()的最大似然估计为g() 应用1:设方差的最大似然估计为:G2 标准差o的最大似然估计为:a2 应用2:求概率值的最大似然估计
注2：最大似然估计具有下述性质： 若 是未知参数θ的最大似然估计， g(θ)是θ的严格单调函数， 则g(θ)的最大似然估计为g( ), ∧ θ ∧ θ 2 2 ˆ ˆ σ σ σ 标准差 的最大似然估计为： 应用1： 设方差的最大似然估计为： 应用2：求概率值的最大似然估计
例:设总体服从参数为的指数分布,X1…,Xn为 样本,a>0为一给定实数。求PX<a的最大似然估计 解:先求参数的极大似然估计 f(r) e4,x>0 0 x<0 F(r)=iei x>0 x<0
例：设总体服从参数为 λ的指数分布， X 1,…,X n 为 样本，a>0为一给定实数。求P{X<a}的最大似然估计。 解：先求参数 λ的极大似然估计。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = − 0 0 , 0 1 ( ) 1 x e x f x x λ λ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − > = − 0 0 1 , 0 ( ) 1 x e x F x x λ
L(4)=I ∑ nL(A)=-、1 ∑ dInL(n d +n∑x=0 =X. 再求概率值的估计p=P(X<a)=F(a)=1-ex X
ˆ 1 . ( ) ( ) 1 X a a p e p P X a F a e − − = − = < = = − λ . ˆ 0 ln ( ) 1 1 ln ( ) ln 1 1 ( ) 1 2 1 1 1 1 X x n d d L L n x L e e n i i n i i x n n i xi i = = − + = = − − ∑ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ∑ ∑ ∏ = = − = − λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 再求概率值的估计
注3:由似然方程解不出0的似然估计时,可由定 义通过分析直接推求maxL( 例:p183例6 例:设X1,…,Ⅹn为取自U(,0)总体的样本,0>0未 知,求参数θ的极大似然估计 考题:P93,填充题9.x|01 设总体的概率分布为 Pθ0(1-0)21-20 利用样本值3,1,3,0, 3,1,2,求得极大似然估计中的似然函数 L(⊙)=(1-20)[e(1-0)](1-20)0(1-20)902
注3：由似然方程解不出θ的似然估计时，可由定 义通过分析直接推求 max (θ ) θ L ∈Θ 例：p183例6 例：设X1,…,Xn为取自U(0,θ)总体的样本， θ>0未 知，求参数θ 的极大似然估计。 • 考题：P93，填充题9。 设总体的概率分布为 利用样本值3,1,3,0, 3,1,2，求得极大似然估计中的似然函数 L(θ)= X 0 1 2 3 P θ θ(1-θ) θ2 1-2θ (1-2θ)[θ(1-θ)](1-2θ)θ(1-2θ)θθ2