证明(1) =2(x) 若区城D既是X型x= B 型,即 坐标轴的直线和L至 x=y,y) 多交于两点 Cy=p,(x) X 工工工 D={(x,y)q(x)≤y≤q2(x,a≤x≤b} D={(x,y)W1(y)≤x≤v2(y),C≤y≤d} 王页下
{( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x y 2 x a x b 证明(1) 若区域 D既是 X − 型 又是 Y − 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y x 2 y c y d y x o a b D cd ( ) y = 1 x ( ) y = 2 x A B C E ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y
00 d, cv2()00 dxdy= dy D Jvi() ax el (), D)dy-O((v),y)dy @(x, y)dy E CBE Q(, y)dy CAE x=yi =00(x,y)+」(x,y) x=v2(y) Q(, y)dy X L 同理可证 -rop 〗a,4b=「P(x,n 上页
dx xQ dxdy dy xQ yy dc D = ( ) ( ) 21 = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy 2 1 = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy = L Q ( x, y )dy 同理可证 = − L D dxdy P x y dx yP ( , ) y x od ( ) 2 x = y D c CE ( ) 1 x = y
两式相加得 00 aP oddy ax ay 「Pdx+Qd 证明(2) D. L 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D 将D分成三个既是X一型又是A L Y-型的区域D1,D2,D3 00 aP 00 aP dxdy= )dxdy ax a D,+D,+D )3 ax ay 上页
若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 证明(2) L L1 L2 L3 D D 1 D 2 D 3 两式相加得 = + − L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 . + + − = − 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ