的解为 ∈9(a,b) 2a+ b 中a〔x 1/x2/a+x/B 十β 其中=√a2+,B一√b2+,1>0满足 a+ b2+又 相应的速度场是u=(a1,n2)=yA中g ∈Ω(a,b) ca+b)b a+8)F O(a,b, (a+b) (a+B) 对于参数a,b的选取,可以这样考虑:为简单起见,不妨设边界 为x1轴,把x轴等分为长为h的线段,当在边界上生成涡团时,每 段内生成一个。自然地:我们取a〓h12,而b取作随机游动在 x2方向上的平均距离 b ye y/4Ar》 y x△t/R R 它与边界层的厚度具有同样的数量级O(1/R) 下面,再设椭圆形满团可以变形,我们先研究流场中漏团变 形规律。在初始时刻,设a(∞10,a20)是它的中心位置,则此涡 团所占钓区域为 {a;(a-a)A(a-o0)≤1,a∈R 其中A是一个2×2的对称正定矩阵,7表示转置 以x记涡团的中心,按照 Taylor展开公式,(117)可以写为
d t(x,4)+(x-x0)·V(x,)+O(|x-x12) 把二阶项略去,并设(1:17)的解x=x()为已知,就得到一个 线性方程。令x一x-x0,B=a-a,得 ds z·a(x,)r, (14.1) ds 其中β∈。。={B;BfB≤1,∈R2}.我们试求(141)的基本解 组,作矩阵函数z(),它满足 dz(z·Wa(x,), (14.2) d ZI (143) 其中I为单位矩阵,则z·PzZ() 由 Liouville定理,得 det Z(i)=det Z(o)exp trOu(xo, i)de 其中det表示矩阵的行列式,tr表示矩阵的迹,已知 z(0)-1,tva(x0,t)=0 因此 det Zoo) 即涡团的面积不随时间而改变,这与流体的不可压缩性是一致 的。以Q()记时刻z时涡团所占的区域,则由(143)得 o(1)={z;zz-()A(z-())x≤1,需∈R2}。(1.4.4) 类似于(1.114)我们可以写 ∑α(x;9) 其中每一个S()都如(144)所示,但是它们所对应的矩阵是不 样的,以σ;记;()的面积,则最简单钓涡团函数是 G;,x∈Ωt) z(x;Q()) ∈Q;() 与圆形涡团法的计算步骤是相同的,所不同的是在每一步,我们
除了要求解(117)以确定涡团的位置外,还要求解(142)以确定 涡团的形状,设对于Ω;(t),(为书写简便,略去指标j z-(t)A(z(r))2 以a,b记长短半轴,6记长半轴与x1轴的夹角,则有 tg 8 a Jau+2antg0+ 22 tg28 tg28-2autg8 速度分量也可以求出 Xsinθ,Ycos6 x∈9() (a+b) b X sine Y xe (c+ c xcws+Ysn日),x∈Q(O), (a+ b Xcos 8 y sin 8 x(a+β) +8-),x∈Q,( 其中 X=(r-Xiicos6+(<"- Xin (x, -Xii sin 0+(=2-Xn)cos 6, x;()=(xn,X1),a√a+1,B-√b+, λ>0满足 X Y 十 §5.确定型算法 解方程(136)的随机游动法与(135)的涡团法是匹配的,值
它的缺点是误差较大,又不能很好地反映边界条件,为边界条件的 处理带来了困难,确定型算法的提出虽不能完全弥补这些不足, 但给我们提供了解决问题另一条可能的途径 确定型算法主要是用来解热传导方程,它也得与方程(13.5) 的求解匹配,才能用来解 Navier- Stokes方程 为了介绍确定型算法的基本思想,我仍先考虑一维的对流扩 散方程 af 十a(x) af (151) 对∫考虑如下的质点逼近 f;(x,t)-∑w,()8(x-X() (152) 把(152)代入(1.51)得 左式一∑{u()8(x-x()+t)[aX() X:()](x-X())}, 右式=∑w;()8"(x-X() 如果 ,X()一a(x;(t),(t)〓0,则(1.52)是(1.51) 的真解。如果≠0,fN不可能为(1.5.1)的真解。我们试考虑让 f在某种意义下成为近似解.为了比较方程两边,我们在给定点 逼近δ函数的二阶微商 8"(x-X()≈一∑a;8(x-X)(13) 或者 x-x(4)≈28;(x-R().(1.4) 这些逼近是在下述意义上得到的,首先按照8函数的定义,对于 无穷次可微的紧支集函数中有
以及 这里8(x)=8(x一)。下面我们用其它点上函数值的线性组 合来逼近函数中的微商 中(x1)≈∑c;(X;), (15.5) d"(X)≈∑;小(X) (156) 当然,这些系数依赖于点的位置和希望逼近的精度 在均匀格上给出二阶精度,则 1 2△x 1 2△x 其它 士1 △ G △x 0 其它 这里△x是空间点的剖分距离。在非均匀阙格上,给定精度,也 可以构造这些系数,利用(155)、(1.5.6)可以导出公式(153)、 (154) 砖x,中》一一小(X)〓一∑叫;d(X ∑a;(x,)-〈-∑x,中 和 ,中一φ“(x)一p;(x) ∑4ax,>-(习r,的) 利用(1.54),比较方程(11)的两端,得方程